Dejemos que $f \in \Bbb Z[x]$ tal que existen distintos $a$ , $b$ , $c$ y $f(a)=f(b)=f(c)=1$ . Demostrar que no hay $d \in \Bbb Z$ tal que $f(d)=0$

Question

Estoy teniendo problemas para tratar de resolver este problema.

Dejemos que $f \in \Bbb Z[x]$ tal que existe $a$ , $b$ , $c$ (todos diferentes) y $$f(a)=f(b)=f(c)=1.$$ Demostrar que no hay $d \in \Bbb Z$ tal que $f(d)=0$ .

Estoy practicando para un examen.

He probado a poner un polinomio $g(x)=f(x)-1$ y factorizarlo como si tuviera tres raíces, pero luego no sé cómo continuar.

¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Estabas en el camino correcto, la idea es que si tienes tres números distintos en $\mathbb{Z}$ uno debe ser diferente de $\pm1$ .

Toma $g(x)$ como ha definido y asume que hay $d$ tal que $f(d)=0$ entonces

$$(d-a)(d-b)(d-c)\tilde{g}(d)=-1$$

Una contradicción ya que $d-a,d-b,d-c$ son distintos.

Answer 2

Tu comienzo es bueno.

Así, podemos escribir $f(x) =u(x)\cdot(x-a)(x-b)(x-c) + 1$ con algún polinomio $u\in\Bbb Z[x]$ .

Entonces, para cualquier número entero distinto $d$ tenemos que al menos uno de $|d-a|,\ |d-b|,\ |d-c|$ es $\ge 2$ y por lo tanto $u(d)\cdot(d-a)(d-b)(d-c)$ no puede ser nunca $-1$ .