Cuál es el grupo fundamental de la variedad de matrices singulares, sin $0$ ?

Question

Considere $S = V(det) \subset M_n(\mathbb{C})$ . Quiero saber cuál es el grupo fundamental de $S \setminus {0}$ es. Equivalentemente, quiero saber el grupo fundamental de $V(det) \subset \mathbb{P}^{n^2 - 1}$ . (Utilizando la secuencia exacta larga de homotopía).

En algunos casos es fácil - si $n = 2$ entonces la variedad es una hipersuperficie cuádrica de rango completo (suave) en $P^3$ y, por tanto, es isomorfo a $P^1 \times P^1$ que está simplemente conectado. Si $n= 3$ Ya no tengo ni idea de cómo proceder. Tampoco es suave para $n \geq 3$ .

El resultado es una variedad con mucha simetría - conjugación por $GL_n(\mathbb{C})$ , multiplicación a la izquierda y a la derecha por $GL_n(C) \times GL_n(C)$ . Hay un número finito de órbitas para esta última acción, clasificadas por rango, y el cierre de cada órbita es la unión de las órbitas de menor rango. ¿Tal vez esto sea útil?

Para poner algo en juego, supongo que simplemente está conectado para todos $n$ . ¿Y los grupos de homotopía superiores? (¿Es el límite con las inclusiones naturales como $n \to \infty$ contractible).

Answer 1

Esto es gracias al comentario de Mohan.

El teorema del hiperplano de Lefschetz establece (entre otras cosas):

Si $X$ es un $n$ -Variedad proyectiva de dimensiones en $P^N$ y $Y$ es una sección hiperplana de $X$ para que $X \setminus Y$ es suave, entonces para $k < n -1$ el mapa inducido por la inclusión $\pi_k(Y) \to \pi_k(X)$ es un isomorfismo, y es suryente para $k = n - 1$ .

En particular, dejamos que $v : X = P^{n^2 - 1} \to P^N$ sea el grado $n$ veronés, por lo que $V(det) \subset X$ se convierte en una sección hiperplana con complemento suave. Entonces, por el teorema, la primera $n^2 - 2$ grupos de homotopía coinciden con los de $P^{n^2 - 1}$ .

Los grupos de homotopía de $CP^M$ pueden relacionarse con las de $S^{2M + 1}$ a través del fibrado $U(1) \to S^{2M + 1} \to CP^M$ . En particular, para $2 < k < 2M + 1$ , $\pi_k(CP^M) = \pi_k(S^{2M + 1}) = 0$ y obtenemos $\pi_2(CP^M) = \mathbb{Z}$ y $\pi_1(CP^M) = 0$ . (Que $CP^M$ está simplemente conectado también se puede ver de su 2 esqueleto es una esfera).

Así que la variedad de matrices singulares es siempre simplemente conectada, pero $\pi_2$ es $\mathbb{Z}$ siempre y cuando $2 < n^2 - 2$ . (En particular, esto no nos dice nada sobre $\pi_2(CP^1 \times CP^1)$ . Que podemos calcular con el mapa de Hurewicz ya que es $2 - 1$ conectado, por lo que $\pi_2 (CP^1 \times CP^1) = H_2(CP^1 \times CP^1) = Z^2$ la igualdad posterior utilizando Kunneth).

Los grupos de homotopía son entonces triviales hasta $\pi_{n^2 - 2}$ donde todo lo que sabemos del teorema de Lefschetz es que $\pi_{n^2 - 2} (V(det))$ se proyecta sobre $\pi_{n^2 - 2}(CP^{n^2 - 1}) = \pi_{n^2 - 2}(S^{2n^2}) = 0$ , que no es ninguna información. He calculado que este grupo es $\mathbb{Z}^2$ para el caso $n = 2$ Así que supongo que en general no son triviales. (Puedo conjeturar que $\pi_{2n^2- 2}(det(X)) = \mathbb{Z}^n$ pero saltando sobre el patrón más obvio).

Los grupos de homotopía superiores son presumiblemente misteriosos.