Sabiendo que para cualquier conjunto de números reales $x,y,z$, tal que $x+y+z = 1$ el $x^2+y^2+z^2 \ge \frac{1}{3}$ de la desigualdad tiene.

Question

Sabiendo que para cualquier conjunto de números reales $x,y,z$, tal que $x+y+z = 1$ el $x^2+y^2+z^2 \ge \frac{1}{3}$ de la desigualdad tiene.

Pasé mucho tiempo tratando de solucionar esto y, después de haber consultado algunos libros, llegué a esto:
$$2x^2+2y^2+2z^2 \ge 2xy + 2xz + 2yz$$ $$2xy+2yz+2xz = 1-(x^2+y^2+z^2) $$ $$2x^2+2y^2+2z^2 \ge 1 - x^2 -y^2 - z^2 $$ $% $ $x^2+y^2+z^2 \ge \frac{1}{3}$Pero este método es muy poco intuitivo para mi y no creo que se trata de la mejor manera de solucionar esto. Se apreciarán más los comentarios y sugerencias.

Answer 1

Trabajos de Cauchy - Schwarz: $$x^2+y^2+z^2=\frac{1}{3}(1^2+1^2+1^2)(x^2+y^2+z^2)\geq\frac{1}{3}(x+y+z)^2=\frac{1}{3}$ $

Answer 2

$x^2+y^2+z^2$ sólo depende de la distancia cuadrada de $(x,y,z)$ desde el origen y el % de restricción $x+y+z=1$nos dice que $(x,y,z)$ se encuentra en un plano afín. El problema se resuelve al encontrar la distancia entre tal plano y el origen: desde el plano es ortogonal a la línea de $x=y=z$,

$$ \min_{x+y+z=1}x^2+y^2+z^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2+\left(\frac{1}{3}\right)^2+\left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{3}$ $ y hemos terminado.

Answer 3

Esto no es una prueba en sí mismo, pero si has estudiado estadística, entonces has visto una prueba que

$$0\le V(X)=E(X^2)-E(X)^2$$

Si ahora consideramos una variable aleatoria $X$ con tres valores igualmente probables, $X=x,y$, y $z$, entonces

$$E(X)={x+y+z\over3}\qquad\text{and}\qquad E(X^2)={x^2+y^2+z^2\over3}$$

Si, además, asumimos $x+y+z=1$, entonces tenemos % o $E(X)={1\over3}$, que implica $E(X^2)\ge\left(1\over3\right)^2={1\over9}$, $x^2+y^2+z^2\ge{1\over3}$.

Answer 4

Excelente algebraicas han dado (yo voté por ellos). La intuición de aquí puede ser obtenida a través de visual pruebas.

La ecuación de $x+y+z=1$ define un plano. $x^2+y^2+z^2=1/3$ define una esfera. La siguiente visualización muestra el plano en el azul, la esfera en la red.

A partir de eso, se puede imaginar que la pregunta podría ser reformulado como un mundano manera): para cualquier punto en el plano, la distancia desde el $(0,0,0)$ origen es mayor que $1/\sqrt{3}$? De modo que la esfera debe permanecer "por debajo" del avión. Excepto cuando se reúnen. La simetría del problema indica que el punto de tangencia de la igualdad de coordenadas $(1/\sqrt{3},1/\sqrt{3},1/\sqrt{3})$, que es una de las motivaciones detrás de la ecuación de $(3x-1)^2+(3y-1)^2+(3z-1)^2$.

Sería la esfera de ser más grande (un radio mayor que $1/\sqrt{3}$), se cruzarían el avión en más de un solo punto de tangencia.

Con todo, este recurre a encontrar la distancia del plano al origen, que es exactamente donde la esfera y el plano de cumplir. Así que lo que estamos viendo es la distancia del plano al origen.

Si el plano está dado por $ax+by+cz+d$, el firmado distancia de un punto a $(x_0,y_0,z_0)$ a es (Punto-Plano de Distancia):

$$D = \frac{ax_0+by_0+cz_0+d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

que en su caso le da exactamente $1/\sqrt{3}$. Cualquier punto en el plano se aleja a$(0,0,0)$$|D|$.

Answer 5

Sugerencia:

$(3x-1)^2+(3y-1)^2+(3z-1)^2\geqslant 0$ De ampliar y simplificar.