¿Es cierto este análogo continuo de la desigualdad AM-GM?

Question

En primer lugar, recordemos el enunciado de la desigualdad AM-GM:

Teorema: ( Desigualdad AM-GM ) Para cualquier secuencia $(x_n)$ de $N\geqslant 1$ números reales no negativos, tenemos $$\frac1N\sum_k x_k \geqslant \left(\prod_k x_k\right)^{\frac1N}$$

Es bien sabido que el operador de suma puede generalizarse para que opere sobre funciones continuas en lugar de sobre secuencias discretas. Esta generalización es el operador integral .

Asimismo, podemos generalizar el operador producto para que opere sobre funciones continuas. Comenzamos con la siguiente propiedad del producto discreto: $$\log\prod_k A_k=\sum_k \log A_k$$ (suponiendo que $A_k>0$ ). Con esto podemos definir el producto continuo (también conocido como el integral geométrica según Wikipedia ) de la siguiente manera: $$\prod_a^b f(x)\ dx := \exp\int_a^b\log f(x)\ dx.$$

asumiendo que la integral converge. A partir de estas definiciones podemos tratar de generalizar la desigualdad AM-GM a funciones continuas:

Propuesta: ( Desigualdad continua AM-GM ) Para cualquier función no negativa que se comporte adecuadamente $f$ definido en $[a,b]$ con $a<b$ tenemos: $$\frac1{b-a}\int_a^bf(x)\ dx \geqslant \left(\prod_a^b f(x)\ dx\right)^\frac1{b-a}$$ o en notación tradicional: $$\frac1{b-a}\int_a^bf(x)\ dx \geqslant \exp\left(\frac1{b-a} \int_a^b \log f(x)\ dx\right)$$

Como ilustración sencilla, consideremos la función $f(x)=1+\sin x$ y fijar el límite inferior $a=0$ . En el siguiente gráfico el $x$ -El eje representa el límite superior de la integración $b$ y en el $y$ -se representan la media aritmética (azul) y la media geométrica (rojo) de $f$ en el intervalo $[a,b]$ donde $a=0$ y $b=x$ .

Es evidente que la desigualdad alegada parece mantenerse, y de hecho es bastante ajustada cuando $b\approx0$ .

Esta desigualdad es interesante, entre otras cosas, porque se puede producir fácilmente una serie de desigualdades numéricas no triviales relativas a constantes conocidas. Por ejemplo, de nuevo con el ejemplo $f(x)=1+\sin x$ , set $b=\pi/2$ . Entonces, asumiendo que la proposición es válida, tenemos

$$\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi/2} 1 + \sin x\ dx \geqslant \exp \left( \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi/2} \log(1+\sin x)\ dx \right)$$ Evaluando estas integrales y reordenando, obtenemos: $$G \leqslant \frac\pi4\log\left(2+\frac2\pi\right) \approx 0.9313$$ donde $G\approx 0.9159$ es la constante de Catalán.

De todos modos me gustaría preguntar, en primer lugar:

¿Es cierta la desigualdad que se afirma, y si es así, cuál es la prueba y en qué clase de funciones es aplicable?

En segundo lugar, y esto es más bien un pequeño reto divertido:

Suponiendo su veracidad, ¿se puede utilizar esta desigualdad para demostrar desigualdades numéricas notables, por ejemplo $\pi < 22/7$ o $e^\pi - \pi < 20$ ?

Answer 1

Yo escribiría esta desigualdad como $$\frac1{b-a}\int_a^b\exp(g(x))\,dx\ge\exp\left(\frac1{b-a}\int_a^b g(x)\,dx\right).$$ En el disfraz es el caso de La desigualdad de Jensen para la función convexa $\phi(t)=\exp(t)$ .