Supongamos que $f(x)$ es continua y extraño: $f(-x) = - f(x)$. Tiene una derivada en $x=0$?
Aquí es lo que tengo hasta el momento: Primero calculamos $f(0)$$f(-0) = -f(0)$, a partir de que $f(0) = 0$. A continuación, calculamos $f'(0)$ como sigue: $$ f'(0) = \lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x 0} = \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}\,. $$ Pero el límite de la izquierda es igual al límite de la derecha: $$ \lim_{x\to0^-}\frac{f(x)}{x} =\lim_{x\to0^+}\frac{f(-x)}{-x} =\lim_{x\to0^+}\frac{-f(x)}{-x} =\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)}{x}\,, $$ lo que significa que mientras el límite de la derecha existe, la función es diferenciable en a $x=0$. El límite es del tipo $\frac{0}{0}$, ya que tanto $x$ $f(x)$ va de cero a $x=0$. Sin embargo, desde la $f(x)$ es continua y $f(0)=0$, a continuación, en las inmediaciones de $x=0$, debe tener bien definido el valor y el límite que debe de existir. Sin embargo, yo no averiguar cómo terminar la prueba.
He estado tratando de construir contador de ejemplos. Un ejemplo sencillo es $f(x) = x^2 \sin \frac{1}{x}$, que es continua (definimos $f(0)=0$) y las impares, con el derivado $f(x) = 2x\sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x}$, que oscila entre -1 y 1 en torno a $x=0$. Pero a $x=0$, la derivada debe ser igual a cero, debido a que $\frac{f(x)}{x} = x \sin \frac{1}{x}$ que va a cero. Así que la derivada no existe en $x=0$ aquí.
