Qué es un ejemplo de un Banach o $C^{*}$ álgebra $A$ que tiene dos elementos inversible $x, y$ tal que $xy$ no se puede conectar a $yx$ $G(A)$, el espacio de inversible elementos de $A$.
Una posible motivación (débil) de esta pregunta es que $K_{1}(A)$ es un Grupo abeliano.
Otra motivación: poner $F_{2}=$ grupo libre en 2 generadores $x,y$. entonces en el reducido $C^{*}-$álgebra $C_{r}^{*} F_{2}$ $xyx^{-1}y^{-1}$ se encuentra en el mismo componente conectado a partir de la identidad.
Sí, se puede mentir en los diferentes componentes. (Respuesta reescrito para mayor claridad; la conclusión de la misma.)
Te voy a dar un ejemplo real con un álgebra de Banach y complejas $C^{\ast}$ álgebra. Ambos dependen de un resultado de [Samelson,H.,"los Grupos y espacios de bucles, Comm.De matemáticas.Helv.,28,278-87 (1954)]
Teorema (Samelson) Definir dos mapas de $\lambda$$\rho: SU(2) \times SU(2) \to SU(2)$$\lambda(g,h)=gh$$\rho(g,h)=hg$. A continuación, $\lambda$ $\rho$ no homotópica.
Necesitamos saber que $\lambda$ $\rho$ siendo nonhomotopic si incorporamos $SU(2)$ en grupos más grandes.
Lema $\lambda$ $\rho$ siendo nonhomotopic si vemos su destino como el distinto de cero cuaterniones (incrustación $SU(2)$ como la norma uno de los cuaterniones.
Prueba El mapa de $q \mapsto q/|q|$ es una retracción de los distinto de cero cuaterniones en $SU(2)$; cualquier homotopy podría estar compuesto con esta retracción violar Samelson del resultado. $\square$
Lema $\lambda$ $\rho$ siendo nonhomotopic si vemos su destino como $GL_2(\mathbb{C})$.
La prueba Para una $2 \times 2$ matriz $X$, escribir $X^{\ast}$ por la conjugada transpuesta. A continuación, $X \mapsto \sqrt{X X^{\ast}}^{-1} X$ es una retracción de $GL_2(\mathbb{C})$ a $U(2)$, e $Y \mapsto Y \left( \begin{smallmatrix} \det(Y)^{-1} & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix} \right)$ es una retracción de $U(2)$ a $SU(2)$. $\square$.
Ahora vamos a $X = SU(2) \times SU(2)$ y deje $H$ ser cualquiera de los cuaterniones o $\mathrm{Mat}_{2 \times 2}(\mathbb{C})$. Considerar el álgebra $A$ de funciones continuas $X \to H$, equipado con el sup norma. Si $H=\mathrm{Mat}_{2 \times 2}(\mathbb{C})$, esta es una $C^{\ast}$ álgebra, usando el estándar $C^{\ast}$ estructura $\mathrm{Mat}_{2 \times 2}(\mathbb{C})$. Deje $x$ $y \in A$ ser la primera y la segunda de las proyecciones de la $X$$SU(2)$, seguido por el obvio incrustaciones $SU(2) \to H$.
Un elemento de $A$ es una unidad si y sólo si es valorado en cero cuaterniones (si $H$ es de los cuaterniones) o con valores en $GL_2(\mathbb{C})$ (si $H$$\mathrm{Mat}_{2 \times 2}(\mathbb{C})$). Por lo $xy$ $yx$ han de ser acompañado por un sendero a través de las unidades si y sólo si se dan homotópica mapas de $X \to (\mathrm{nonzero quaternions})$ o $X \to GL_2(\mathbb{C})$, respectivamente-que se demostró que no. $\square$
Ver estas respuestas por Eric Wofsey y Achim Krause para más información sobre el homotopy estructura de los mapas de $SU(2) \times SU(2) \to SU(2)$.
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