diferenciar la matriz exponencial

Question

Sé esto:

$$\frac{d}{dt}e^{At} = Ae^{At}$$

Sin embargo, en una conferencia, encuentro lo siguiente:
$$\frac{d}{dt}e^{A^Tt} = e^{A^Tt}A^T$$

La Conferencia es como siguiente:

¿Cómo mostrar el segundo caso, ¿por qué no $A^Te^{A^Tt}$?

Answer 1

Nota, que para cualquier matriz $C$, $C$ y $e^C$ viaje. Uno puede ver esto como sigue: %#% $ #% por lo tanto, $$ Ce^C = C \cdot \sum_{k=0}^\infty \frac 1{k!} C^k = \sum_{k=0}^\infty \frac 1{k!} C^{k+1} = \sum_{k=0}^\infty \frac 1{k!} C^k \cdot C = e^C C $ $

Answer 2

Ambos $A^Te^{A^Tt}$ y $e^{A^Tt}A^T$ son correctos como $A^T$ conmuta con sí mismo, por lo tanto también se conmuten con exponencial de sí mismo. Para probar esto, escriba como series exponencial.