Número de formas de formar palabras de 4 letras utilizando las letras de la palabra RAMANA

Question

Preguntas: Encuentre el número de formas de formar palabras de 4 letras utilizando las letras de la palabra "RAMANA"

Esto puede resolverse fácilmente tomando diferentes casos.

1. Las 3 "A" tomadas: letra restante se puede elegir en $^3C_1$ formas. Posibilidades totales $=^3C_1\cdot\frac{4!}{3!}=12$
2. Sólo se han sacado 2 sobresalientes: las dos letras restantes de {R,M,N} pueden elegirse en $^3C_2$ formas. Posibilidades totales $= ^3C_2\cdot\frac{4!}{2!}=36$
3. Sólo una A: Número de vías: $4!=24$

Total $=72$ .

Pero mi profesor lo resolvió así. Encontró el coeficiente de $x^4$ en $4!\cdot(1+\frac{x}{1!})^3(1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!})$ que también resultó ser $72$ .

¿Por qué funciona? Además, si evito los factoriales, obtengo el número de combinaciones. Es decir, número de combinaciones $=$ coeficiente de $x^4$ en $(1+x)^3(1+x+x^2+x^3)$

Answer 1

Suponga que tiene un $4$ cadena de letras compuesta por, digamos, $1$ distintos y $3$ letras idénticas

Habría $\frac{4!}{1!3!}$ permutaciones, también expresable como coeficiente multinomial, $\binom{4}{1,3}$

Del mismo modo, para $2$ distinto, $2$ idénticos, y $3$ distinto, $1$ idéntico,
sería $\binom{4}{2,2}\;$ y $\binom{4}{3,1}$ respectivamente.

En la expresión polinómica $4!(1+x/1!)^3(1+x+x^2/2!+x^3/3!)$ ,
el 4! corresponde al numerador, cualquiera que sea el combinación el primer término de $( )$ corresponde a la elección de uno o varios de $R,M,N$ y el otro término corresponde a la elección de $1,2,$ o $3 A's$

Será evidente por qué este enfoque funciona si expandimos el primer término en ( ), y comparamos en serie con el enfoque de su caso utilizando simplemente los coeficientes apropiados para obtener términos en $x^4$

$4!(1 + 3x + 3x^2 + x^3)(1 + x + x^2/2! + x^3/3!)$

Para hallar el coeficiente de $x^4$ Consideremos los tres casos que producen $x^4$

Uno de $R,M,N, 3A's : 4!\cdot3\cdot\frac{1}{3!} = 12$
Dos de $R,M,N, 2A's : 4!\cdot3\cdot\frac1{2!} = 36$
Tres de $R,M,N, 1A : 4!\cdot1\cdot 1 = 24$

Coeficiente de $x^4 = 12+36+24 = 72$

Ahora podemos ver claramente por qué el coeficiente de $x^4$ en la expresión da automáticamente todas las permutaciones posibles de $4$ cartas