Esto no es cierto; por ejemplo, todo mapa S3→S2 induce el mapa trivial en cohomología. Sin embargo, puedes detectar lo no trivial tomando la cofibra (homotópica) del mapa, es decir, adjuntar un 4-disco a S2 a lo largo de la imagen de S3. Para el mapa trivial esto te da S2∨S4, mientras que por ejemplo la fibración de Hopf te dará CP2. Para ser totalmente preciso, puedes darte cuenta de que esto es distinto de S2∨S4 revisando que el producto auto-copa del generador de dimensión 2 α es no trivial - de hecho, es un generador de dimensión 4 β. En general obtienes que α⌣α=nβ para algún n∈Z. Este n se llama la inyección de Hopf del mapa; la inyección de Hopf se puede definir para cualquier mapa S2k−1→Sk, y de hecho define un homomorfismo π2k−1(Sk)→Z. Es bastante fácil mostrar que siempre alcanza los enteros pares cuando k es par y es trivial cuando k es impar. Con un poco más de trabajo, puedes demostrar que si esto es sobreyectivo, tiene que ser que k=2t. Pero de hecho, es sobreyectivo precisamente cuando k∈{1,2,4,8}, y además esto es en realidad equivalente a la afirmación de que los únicos álgebras de división reales son los números reales R, los números complejos C, los cuaterniones H, y los octoniones $\mathbb{O}!
Si piensas que esto es tan genial como yo, deberías echar un vistazo al excelente libro (e increíblemente económico) de Mosher & Tangora Operaciones de Cohomología y Aplicaciones a la Teoría de Homotopía.