Esto no es cierto; por ejemplo, cada mapa $S^3 \rightarrow S^2$ induce el trivial mapa en cohomology. Sin embargo, puede detectar nontriviality por tomar el (homotopy) cofiber del mapa, es decir, dar un 4 discos a $S^2$ a lo largo de la imagen de $S^3$. Para el trivial de este mapa da $S^2 \vee S^4$, mientras que por ejemplo el de Hopf fibration le dará $\mathbb{C}P^2$. Para ser totalmente precisos, se puede decir que esto es distinto de $S^2 \vee S^4$ mediante la comprobación de que la auto-copa del producto de la 2-dimensional generador de $\alpha$ es trivial, de hecho, es una de 4-dimensional generador de $\beta$. En general se puede conseguir que la $\alpha \smile \alpha = n\beta$ algunos $n \in \mathbb{Z}$. Esta $n$ se llama el invariante de Hopf de el mapa; el invariante de Hopf se puede definir para cualquier mapa de $S^{2k-1} \rightarrow S^k$, y de hecho define un homomorphism $\pi_{2k-1}(S^k) \rightarrow \mathbb{Z}$. Es bastante fácil demostrar que esta siempre hits de los números enteros al $k$ es regular y es trivial si $k$ es impar. Con un poco más de trabajo, usted puede demostrar que si este es surjective, debe ser que $k=2^t$. Pero, en realidad, es surjective precisamente al $k \in \{1 , 2, 4, 8\}$, además de que este es en realidad equivalente a la afirmación de que la única división real álgebras son los números reales $\mathbb{R}$, el de los números complejos $\mathbb{C}$, los cuaterniones $\mathbb{H}$, y el octonions $\mathbb{O}$!
Si usted piensa que esto es tan genial como yo, usted debe comprobar fuera de Mosher Y Tangora excelente (y muy económico) libro Cohomology Operaciones y Aplicaciones para Homotopy Teoría.
