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¿Los mapas inducen los mismos homomorfismos de cohomología homotópica?

No es difícil mostrar que dadas f,g:XY, con f y g homotópicas, los homomorfismos inducidos f,g:H(Y,Z)H(X,Z) son iguales.

¿Es cierta la afirmación inversa? Es decir, si f=g ¿es necesariamente cierto que f y g son homotópicas?

Estoy seguro de que esto es demasiado fuerte para cumplirse en general. Pero estoy especialmente interesado en el caso donde X y Y son complejos CW finitos. Siento que resultados como la aproximación CW hacen plausible que tal resultado pueda cumplirse. Simplemente no puedo ver cómo probarlo o cómo construir un contraejemplo.

Gracias.

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Binarytales Puntos 141

Esto no es cierto; por ejemplo, todo mapa S3S2 induce el mapa trivial en cohomología. Sin embargo, puedes detectar lo no trivial tomando la cofibra (homotópica) del mapa, es decir, adjuntar un 4-disco a S2 a lo largo de la imagen de S3. Para el mapa trivial esto te da S2S4, mientras que por ejemplo la fibración de Hopf te dará CP2. Para ser totalmente preciso, puedes darte cuenta de que esto es distinto de S2S4 revisando que el producto auto-copa del generador de dimensión 2 α es no trivial - de hecho, es un generador de dimensión 4 β. En general obtienes que αα=nβ para algún nZ. Este n se llama la inyección de Hopf del mapa; la inyección de Hopf se puede definir para cualquier mapa S2k1Sk, y de hecho define un homomorfismo π2k1(Sk)Z. Es bastante fácil mostrar que siempre alcanza los enteros pares cuando k es par y es trivial cuando k es impar. Con un poco más de trabajo, puedes demostrar que si esto es sobreyectivo, tiene que ser que k=2t. Pero de hecho, es sobreyectivo precisamente cuando k{1,2,4,8}, y además esto es en realidad equivalente a la afirmación de que los únicos álgebras de división reales son los números reales R, los números complejos C, los cuaterniones H, y los octoniones $\mathbb{O}!

Si piensas que esto es tan genial como yo, deberías echar un vistazo al excelente libro (e increíblemente económico) de Mosher & Tangora Operaciones de Cohomología y Aplicaciones a la Teoría de Homotopía.

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