¿Los mapas inducen los mismos homomorfismos de cohomología homotópica?

Question

No es difícil mostrar que dadas $f,g: X \rightarrow Y$, con $f$ y $g$ homotópicas, los homomorfismos inducidos $f^*, g^* : H^* (Y, \mathbb{Z}) \rightarrow H^* (X, \mathbb{Z})$ son iguales.

¿Es cierta la afirmación inversa? Es decir, si $f^* = g^*$ ¿es necesariamente cierto que $f$ y $g$ son homotópicas?

Estoy seguro de que esto es demasiado fuerte para cumplirse en general. Pero estoy especialmente interesado en el caso donde $X$ y $Y$ son complejos CW finitos. Siento que resultados como la aproximación CW hacen plausible que tal resultado pueda cumplirse. Simplemente no puedo ver cómo probarlo o cómo construir un contraejemplo.

Gracias.

Answer 1

Esto no es cierto; por ejemplo, todo mapa $S^3 \rightarrow S^2$ induce el mapa trivial en cohomología. Sin embargo, puedes detectar lo no trivial tomando la cofibra (homotópica) del mapa, es decir, adjuntar un 4-disco a $S^2$ a lo largo de la imagen de $S^3$. Para el mapa trivial esto te da $S^2 \vee S^4$, mientras que por ejemplo la fibración de Hopf te dará $\mathbb{C}P^2$. Para ser totalmente preciso, puedes darte cuenta de que esto es distinto de $S^2 \vee S^4$ revisando que el producto auto-copa del generador de dimensión 2 $\alpha$ es no trivial - de hecho, es un generador de dimensión 4 $\beta$. En general obtienes que $\alpha \smile \alpha = n\beta$ para algún $n \in \mathbb{Z}$. Este $n$ se llama la inyección de Hopf del mapa; la inyección de Hopf se puede definir para cualquier mapa $S^{2k-1} \rightarrow S^k$, y de hecho define un homomorfismo $\pi_{2k-1}(S^k) \rightarrow \mathbb{Z}$. Es bastante fácil mostrar que siempre alcanza los enteros pares cuando $k$ es par y es trivial cuando $k$ es impar. Con un poco más de trabajo, puedes demostrar que si esto es sobreyectivo, tiene que ser que $k=2^t$. Pero de hecho, es sobreyectivo precisamente cuando $k \in \{1 , 2, 4, 8\}$, y además esto es en realidad equivalente a la afirmación de que los únicos álgebras de división reales son los números reales $\mathbb{R}$, los números complejos $\mathbb{C}$, los cuaterniones $\mathbb{H}$, y los octoniones $\mathbb{O}!

Si piensas que esto es tan genial como yo, deberías echar un vistazo al excelente libro (e increíblemente económico) de Mosher & Tangora Operaciones de Cohomología y Aplicaciones a la Teoría de Homotopía.