¿Superficie de la tierra mapa distancia en línea recta es la distancia?

Question

Hay una función de $f:$ (latitud, longitud) $\longrightarrow \mathbb{R}^n$ (para cualquier finito $n$) tales que la distancia lineal entre el $f(x)$ $f(y)$ es el gran círculo de la distancia entre el $x$$y$?

Mi conjetura es que no, pero me parece que no puede demostrarlo. Razonamiento: la gran círculo fórmulas implican senos y cosenos. La distancia lineal en $\mathbb{R}^n$ es (la raíz cuadrada de) de un número finito de suma de cuadrados. Si tal asignación existía, tendríamos un poder finito serie de seno o coseno, que sabemos que no existe.

El seguimiento de la pregunta: ¿un $f$ existen tales que el lineal la distancia entre la $f(x)$ $f(y)$ está dentro de una tolerancia especificada (por ejemplo, una milla) de la distancia ortodrómica entre el$x$$y$?

Soy ambivalente en este... no creo que se pueda hacer, pero me he perdido la capacidad de imaginar $n \ge 4$ dimensiones, así que puedo estar equivocado.

EDIT: por supuesto, $f$ sí puede implicar senos y cosenos, así que ahora me pregunto si esto se PUEDE hacer en $\mathbb{R}^4$ o algo...

EDIT: Chris es correcto, por supuesto. Quizás otra forma de verlo: el triángulo de la desigualdad se aplica a todos los $\mathbb{R}^n$, pero no a la esfera. La geometría no Euclidiana es realmente No-Euclidiana!

Answer 1

Primera pregunta: No. En $\mathbb R^n$, sólo hay un punto que se encuentra a mitad de camino entre dos puntos dados. En una esfera, hay infinitamente muchos puntos a mitad de camino entre los polos, es decir, todo el ecuador.

Edita: Para que quede claro, "a medio camino entre" es un fuerte propiedad de "equidistante". Yo digo que $m$ está a medio camino entre el $x$ $y$ si $d(x,m)=d(m,y)=\frac12 d(x,y)$.

...Está bien, vamos a configurar algunas anotaciones.

• $d_c$ el gran círculo de la métrica en la esfera de la $S^2$
• $d_s$ el de línea recta métrica en algunos $\mathbb R^n$
• $N$ el Polo Norte
• $S$ el Polo Sur
• $e_1$ algún punto en el ecuador
• $e_2$ otro punto sobre el ecuador

Supongamos por simplicidad que $d_c(N,S)=1$. A continuación,$d_c(N,e_1)=d_c(e_1,S)=\frac12$. También, $d_c(N,e_2)=d_c(e_2,S)=\frac12$. Ahora supongamos que una función de $f:S^2\to\mathbb R^n$ existe tal que para todos los $x,y\in S^2$,$d_s(f(x),f(y))=d_c(x,y)$. A continuación,$d_s(f(N),f(S))=1$$d_s(f(N),f(e_1))=d_s(f(e_1),f(S))=\frac12$, lo que implica que $f(e_1)$ es sólo el vector promedio $$f(e_1)=\frac{f(N)+f(S)}{2}.$$ Pero por la misma lógica, $f(e_2)$ es el mismo punto, por lo $f(e_2)=f(e_1)$, y por lo tanto $d_s(f(e_1),f(e_2))=0$. Esto contradice la suposición de que $d_c(e_1,e_2)>0$.

Seguimiento de la pregunta: ¡Seguro! En la habitual inclusión de la esfera en la $\mathbb R^3$, hay un número finito de tolerancia entre el gran círculo de la distancia entre dos puntos y la distancia en línea recta en el espacio ambiente. La tolerancia es, por supuesto, mucho mayor que la de una milla.

Answer 2

Para la primera pregunta la respuesta es un rotundo "no", incluso si uno quiere esta propiedad sólo a nivel local (asignación sólo una parte de la superficie). Lo que están pidiendo es un isométrico de la incrustación de un espacio métrico (la superficie) a otro (el $n$ dimensiones de espacio vectorial). Pequeños segmentos de grandes círculos tienen la propiedad de que para cualquier de los tres puntos en ellos la distancia entre las puntas es precisamente la suma de sus distancias al punto intermedio. En una métrica Euclidiana esto sólo puede lograrse si los tres puntos están perfectamente alineados, por lo que esto obliga a las imágenes de gran círculo segmentos segmentos de línea recta. Por tanto, la imagen de la superficie debe ser (a nivel local) un plano afín, que reduce de forma efectiva el problema general para el caso especial en $n=2$. El problema sin embargo es bien conocido que los cartógrafos no admite solución, debido a Gauss, Theorema Egregium.

Para la segunda pregunta uno podría preguntarse cómo es grande un disco puede ser asignada, mientras que la admisión de un rango de tolerancia de la distancia de distorsión, lo que sería una pregunta interesante. Mi sensación es que el trivial de la incrustación de la superficie en $\Bbb R^3$ (donde las distancias Euclídeas son siempre un poco menos que el gran círculo distancias) iba a hacer un poco mejor que en cualquier cartográfica proyección a $\Bbb R^2$, pero realmente no tengo mucho para apoyar esto.