Ecuación de Schrodinger en término de la ecuación de Fokker-Planck

Question

De la Wikipedia en la ecuación de Fokker-Planck:

$$\tag{1}\frac{\partial }{\partial t}f\left( x^{\prime },t\right) ~=~\int_{-\infty}^\infty dx\left( \left[ D_{1}\left( x,t\right) \frac{\partial }{\partial x}+D_2 \left( x,t\right) \frac{\partial^2}{\partial x^2}\right] \delta\left( x^{\prime}-x\right) \right) f\left( x,t\right).\qquad $$

Integrar en un intervalo de tiempo $\varepsilon$,

$$f\left( x^\prime ,t+\varepsilon \right) $$ $$~=~\int_{-\infty }^\infty \, dx\left(\left( 1+\varepsilon \left[ D_{1}\left(x,t\right) \frac{\partial }{\partial x}+D_{2}\left( x,t\right) \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\right]\right) \delta \left( x^\prime - x\right) \right) f\left( x,t\right)$$ $$\tag{2}+O\left( \varepsilon ^{2}\right).\qquad $$

OK, pero ecuación de Fokker-Planck de una dimensión es generalmente

$$\tag{0} \frac{\partial}{\partial t}f(x,t) = -\frac{\partial}{\partial x}\left[\mu(x,t)f(x,t)\right] + \frac{\partial^2}{\partial x^2}\left[ D(x,t)f(x,t)\right].$$

Yo no era capaz de entender cómo se obtiene a partir de la ecuación original (0) a los anteriores (1) y cómo se hace la primera ecuación de (1) conduce a la segunda ecuación de (2). ¿Alguien puede explicar esto?

Answer 1

Sugerencias:

$\underline{(0) \Rightarrow (1)}$: No trate de hacerlo todo a la vez. Hacerlo poco a poco en tantos pasos como usted necesita estar seguro de que usted está calculando correctamente y entender todo. El truco es integrar por partes. Ser muy cuidadoso para mantener un seguimiento de lo que depende de $x$ y lo que depende de $x^{\prime}$.

$\underline{(1) \Rightarrow (2)}$: Utilizar la serie de Taylor

$$f( x^{\prime} ,t+\varepsilon ) ~=~f( x^{\prime} ,t) +\varepsilon\frac{\partial }{\partial t}f\left( x^{\prime },t\right) +{\cal O}\left( \varepsilon ^{2}\right).$$

Answer 2

El artículo de Wikipedia sobre el autor señala que las ecuaciones son "formalmente equivalentes". Yo creo que esto significa que ambos, Schrödinger y de Fokker-Planck, ecuaciones que describen la evolución de una función a lo largo del tiempo. Entonces, como se hace en la mecánica cuántica con Feynman camino integrales, podemos escribir la ecuación diferencial parcial en términos de una ruta integral y hablar de "propagar" el estado inicial a través del tiempo.

Aquí es cómo el paso de (0) a (1).

En primer lugar, observar esta propiedad de la delta-función: $$ \int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)\delta^{\left(n\right)}\left(x'-x\right)dx=\left(-1\right)^{n}f^{\left(n\right)}\left(x'\right) $$

donde el superíndice $\left(n\right)$ indica la n-ésima derivada. Usted puede demostrar esto mediante la integración por partes.

En el lado derecho de la ecuación (0), no son el primero y el segundo $x$ los derivados de la $f(x,t)$ y los derivados de la $\mu\left(x,t\right)$ y $D\left(x,t\right)$ pueden ser agrupadas en el $D_{1}\left(x,t\right)$ y $D_{2}\left(x,t\right)$ de la ecuación (1). $$ \frac{\partial}{\partial t}f(x,t)=\left(-D_{1}\left(x,t\right)\frac{\partial}{\partial x}+D_{2}\left(x,t\right)\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\right)f\left(x,t\right) $$

No estoy seguro de lo que sucede con el término $\left(\frac{\partial^{2}D\left(x,t\right)}{\partial x^{2}}-\frac{\partial\mu\left(x,t\right)}{\partial x}\right)f\left(x,t\right)$ . Tal vez estos derivados pueden ser ignorados, si asumimos que las funciones $\mu\left(x,t\right)$ y $D\left(x,t\right)$ no varían significatlly con $x$.

Ahora, la delta de la función de los derivados se pueden utilizar para escribir los términos en el lado derecho como:

$$ -D_{1}\left(x',t\right)\frac{\partial}{\partial x}f\left(x',t\right)=-\int_{-\infty}^{\infty}D_{1}\left(x,t\right)\frac{\partial f\left(x,t\right)}{\partial x}\delta\left(x'-x\right)dx=\int_{-\infty}^{\infty}D_{1}\left(x,t\right)\frac{\partial\delta\left(x'-x\right)}{\partial x}f\left(x,t\right)dx $$

y lo mismo para el segundo plazo. Poner juntos obtenemos la ecuación (1).

Para llegar a la ecuación (2) siga Qmechanic la pista y Taylor se expanden alrededor de $t$.

Answer 3

Vamos a partir de la ecuación (0) a (1) es, básicamente, por escrito, el adjunto del operador lineal en el Fokker Planck, ecuación (con un estándar de $L^2$ producto interior). Así que la primera ecuación es, básicamente, las siguientes declaraciones: $$ \dfrac{\partial f(x,t)}{\partial t}=\mathcal{L}_xf\text{ donde }\mathcal{L}_x\equiv-\dfrac{\partial}{\partial x}D_1(x,t)+\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}D_2(x,t) $$ y dado (para todas las funciones con valores reales) $$ \langle f,g\rangle=\int_{\mathbb{R}}\mathrm{d}xf(x)g(x) $$ entonces el medico adjunto ( $\mathcal{L}_x^\dagger$ ) $\mathcal{L}_x$ se define como $$ \langle\mathcal{L}f,g\rangle=\langle f,\mathcal{L}_x^\daga g\rangle $$ lo que implica $$ \mathcal{L}_x^\daga=D_1(x,t)\dfrac{\partial}{\partial x}+D_2(x,t)\dfrac{\partial^2}{\partial x^2} $$