Orden de elementos de grupos cíclicos...

Question

Que $G$ sea un grupo cíclico de orden $n$. Supongamos que $x$, $y$ son dos elementos de orden $d$, donde divide a $d$ $n$. Mostrar que $y = x^m$, donde $m$ es un número entero coprimo a $n$.

Sé $y=x^m$ desde los subgrupos generados por $x$ y $y$ debe ser idéntica. No sé cómo mostrar el coprimeness, sin embargo.

Answer 1

Esto parece sorprendentemente difícil para un problema elemental. Para un entero positivo $m$, vamos a $U(m) = (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^{\times}$ el grupo de unidades del modulo $m$. Entonces para cualesquiera enteros positivos $d \mid n$, el cociente mapa

$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/d\mathbb{Z}$ induce un mapa de los grupos de unidades

$U(n) \rightarrow U(d)$, lo que yo reclamo es siempre surjective. Por lo tanto, si usted comienza con algo que es una unidad modulo $d$, entonces siempre se puede corregir por un múltiplo de $d$ a algo que es una unidad de modulo $n$: eso es lo que estamos tratando de probar.

¿Cómo se puede demostrar este hecho? Con cuidado! Es lo suficiente como para ir de cualquier $d$ $dp$primer $p$, y desea para tratar los casos de $p \mid d$ $\operatorname{gcd}(p,d) = 1$ por separado. Apuesto a que esta cuestión se ha preguntado y respondido en este sitio antes, pero en caso de no y necesita más ayuda, por favor pregunte.

Añadido: en efecto, el surjectivity pregunta se ha hecho aquí antes de: ver esto. La respuesta todavía deja algo para el lector, así que sigue por favor siéntase libre de pedir más ayuda...

Answer 2

Edit: Esto es absurdo.

Bueno, la parte de coprimos es falsa. Aquí es un contraejemplo:

Tomar $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, donde $n=12$, $x=3$ y $y=9$. Entonces ambos $x$ y $y$ son del orden de $4$, $y=3x$. Por lo tanto hemos encontrado un $m$ que no es coprimo a $n$.

Por otro lado, si cambia el prompt a «$m$ es un número entero coprimo a $d$», la declaración se convierte en verdad (y por lo tanto mucho más fácil de probar). :)