Encontrar la suma de la serie $1+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{4^2}+\frac{1}{7}\cdot\frac{1}{4^3}+\cdots$

Question

Encontrar la suma de la serie: $$1+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{4^2}+\frac{1}{7}\cdot\frac{1}{4^3}+\cdots$ $

Answer 1

Esto puede ser transformado a $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{(2n-1)2^{2n-1}}$ $

Que %#% $ #%

Entonces, tenemos $$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2n-1}}{(2n-1)}$.

Por lo tanto, tenemos % $ $f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} x^{2n-2} = \frac{1}{1-x^2}$está claro que $$f(x)=\int \frac{1}{1-x^2} = \frac{1}{2} \ln \frac{x+1}{1-x}+C$.

Ahora enchufar $C=0$ en esta ecuación, tenemos $x=\frac{1}{2}$, así que la respuesta deseada es doble ese número o $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)2^{2n-1}} = \frac{1}{2} \ln 3$.