Primera Variante:
Los números de Bernoulli puede ser fácilmente expresada por álgebra lineal ecuaciones. Por ejemplo, el uso de la fórmula de recursión
$$\sum_{k=0}^{n-1}{n\choose k}B_k=0$$
que es la ecuación (34) de la MathWorld página. Observe que la suma sólo va a $n-1$.
Podemos formular el cálculo de los números de Bernoulli como un espacio nulo de cálculo de la siguiente manera:
Vamos
$$\mathbf{L} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 3 & 3 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 4 & 6 & 4 & 1 & 0\\ 1 & 5 &10 & 10& 5 & 1\end{bmatrix}$$
ser la $6x6$ inferior triangular de la matriz de Pascal. Set $l_{21} = 0$, a continuación se encuentra el vector $b=[1, -1/2, 1/6, 0, -1/30, 0]^T$ como una solución a $(L-I)b=0$. Este vector es un vector de números de Bernoulli.
Segunda Variante:
Sin embargo, hay otra manera de encontrar los números de Bernoulli con matrices. Considere la posibilidad de
$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{1}{6} & -\frac{1}{12} & -\frac{1}{20} & -\frac{1}{30} & -\frac{1}{42}\\ \frac{1}{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{4} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{5} & 0 \end{bmatrix}$$
Así que esta matriz fue construida por poner $-1/(1\cdot2), -1/(2\cdot3), -1/(3\cdot4), ...$ en la primera fila y $1/1, 1/2, 1/3, ...$ en la subdiagonal.
Ahora con $k!A^ke$ $e:=[1, 0, 0, 0, 0, 0]^T$ $k < 6$ vamos a obtener los coeficientes de la k-ésimo polinomio de Bernoulli. Con el término constante en la 'primera' (izquierda) de la posición. Por ejemplo
$$3!A^3e = [0, 1/2, -3/2, 1, 0, 0]^T$$
y
$$4!A^4e = [-1/30, 0, 1, -2, 1, 0]^T$$
Por supuesto, hay una diferencia entre los coeficientes de los Bernoulli polinomios y la de Bernoulli números - pero no es muy grande ya que
$$B_n(x) = \sum_{k=0}^n{n\choose k}B_kx^{n-k}$$
esto es de wikipedia.
Claramente la inspiración de esta manera ligeramente diferente de la obtención de los números de Bernoulli/polinomios fue el 'cálculo' definición de los polinomios de Bernoulli:
$$B'_k(w) = k \cdot B_{k-1}(w)$$
$$\int_0^1 B_k(t)\textrm{d}t = B_{k+1}(1)-B_{k+1}(0)=0$$
Pero, ¿cómo son estos dos métodos relacionados? Hay tal vez un álgebra lineal manera de mostrar que estos cálculos dan como resultado la misma (bernoulli) los vectores?
EDIT 1: La segunda variante (que se define en esta pregunta) es consistente con $B(s)=-s\zeta (1-s)$ desde sólo puede calcular el $\Gamma (s+1)A^s e$ - y se acerca para mayor $n$ (esto es real $s$ - complejo de $s$ no está probado). No sé cómo se podría hacer la primera variante consistente con $B(s)=-s\zeta (1-s)$, pero...
EDIT 2: Deja $$D:= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5\\ \end{bmatrix} $$
ser la $6x6$ 'diferenciación operador' para polinomios en monomio base, donde el polinomio vectores se dan con el término constante en la parte superior (y el más alto grado de poder en la parte inferior). Entonces si $b_k=k!A^ke$ es un vector de coeficientes de la kth de bernoulli polinomio produce a través de la 'segunda variante' tenemos por ejemplo $Db_k=kb_{k-1}$.
Pero otra relación que la de bernoulli polinomios obedecer es más útil aquí. Sabemos que el avance se diferencia de la n-ésimo polinomio de bernoulli resultados en la derivada de la monómico de energía $n-1$ $$B_n(x+1)-B_n(x)=nx^{n-1}$$ de wikipedia. Así que si cambiamos la base de un polinomio de monomio a "bernoulli" el avance operador diferencia se convierte en el operador de la derivada. Pero el avance operador diferencia de polinomios en monomio base es sólo $e^D-I$ - donde $e^D$ es la parte superior triangular de la matriz de pascal nuevo de wikipedia. La 'matriz de cambio de base" de monomio 'de bernoulli es $B:=[b_0,b_1,...,b_5]$$b_k=k!A^ke.$, por Lo que $$(e^D-I)B=D.$$ (btw matrix B has full rank $6$ - $(e^D-I)$ and $D$ only have rank $5$).
Desde $B$ tiene rango completo, podemos escribir la $e^D-I = DB^{-1}$ y debido a $D$ es nilpotent el lado izquierdo es un número finito (matriz) de la suma, es decir,$$\frac{1}{1!}D^1+\frac{1}{2!}D^2+\frac{1}{3!}D^3+\frac{1}{4!}D^4+\frac{1}{5!}D^5=DB^{-1}$$ So if we multiply both sides by the 'integration operator' for polynomials we get $$B^{-1}=\sum_{k=0}^4\frac{D^k}{(k+1)!}.$$ However since the 'integration operator' for polynomials with all zeros on the top row doesn't have full rank, it seems that one value of $ B^{-1}$ remains undetermined (although $B^{-1}$ calculated this way is still invertible and you can still get the first four bernoulli polynomials by inverting $B^{-1}$).
De esta suma, podemos conlude que $B^{-1}-I$ es nilpotent lo $(B^{-1}-I)^5=0$ o $$\sum_{k=0}^5 (-1)^{k}{5\choose k}(B^{-1})^k=0.$$
El primer término de esta suma es la identidad, por lo que podemos resolver para que y se multiplican ambos lados con $B$ para obtener
$$B = -\sum_{k=1}^5 (-1)^{k}{5\choose k}(B^{-1})^{k-1}.$$
Esto se está poniendo muy cerca de la exlicit fórmula que tenemos para los polinomios de bernoulli ver wikipedia. Sin embargo, que la fórmula funciona para los valores de los polinomios de bernoulli. La fórmula que se presenta aquí sólo utiliza los coeficientes. (También no sólo tiene en cuenta los coeficientes, pero los coeficientes de el puño $n=5$ polinomios de bernoulli todos a la vez - que es incómodo).
La fórmula $(e^D-I)B=D$ proporciona un poco más fuerte que el de la conexión entre las dos variantes desde el lado izquierdo se parece mucho a nuestro modificado inferior triangular de la matriz de pascal y el lado derecho se parece mucho a $A$ desde $A$ es simplemente la integral de operador " de polinomios donde la primera fila corrige el término constante (integración numérica). Aunque esto no es completamente responder a la pregunta, creo que es todavía vale la pena destacar.
PS: usted debe tener una mirada en el artículo que Gottfried Helms vinculado en los comentarios - en ella introduce la matriz diagonal $J$ cuya diagonal entradas sólo se alternan entre el $+1$ $-1$ (a partir de la con $+1$). Luego se hace la observación de que $JLb=b$ (donde $L$ es el inalterada inferior triangular de la matriz de Pascal). Por lo $b$ está en el espacio nulo de $JL-I$. Tenga en cuenta que $JL$ es casi (pero no del todo) la inversa de a $L$. Esto parece totalmente compatible con la "primera variante' se define aquí. Sin embargo, el espacio nulo de a $JL-I$ es una dimensión más grande que la de $L-I$ (con alteración de la $L$) por lo el vector de Bernoulli no llegar a ser un (posiblemente a escala) base de vectores del espacio nulo, pero sólo en el espacio nulo en algún lugar.
