Necesito demostrar que si $X$ es un espacio Tychonoff incontable, entonces $C(X)$ no es metrizable. Todo lo que he podido demostrar hasta ahora es que $F(X)$ el espacio de todas las funciones con topología puntual, es homeomorfo a $\mathbb{R}^X$ (el producto) que no es metrizable, pero no consigo llegar más lejos. Gracias.
Respuesta
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Pista: Si la topología de convergencia puntual fuera metrizable, sería primero contable, por lo que $0$ tendría una base de vecindad contable. Así, habría una secuencia de barrios abiertos $U_i$ de $0$ de manera que cada vecindad de $0$ contiene algunos $U_i$ .
Por definición de la topología de convergencia puntual, para cada $i$ existe algún conjunto finito $J_i$ y algunos $\epsilon_i > 0$ tal que $f \in U_i$ si $|f(x)| < \epsilon_i$ para todos $x \in J_i$ . Ahora define otra vecindad $U$ de $0$ y utilizar el hecho de que $X$ es completamente regular para demostrar que para cualquier $i$ hay algo de $f \in C(X)$ tal que $f \in U_i$ pero $f \notin U$ .
