Que $a_1,a_2,\ldots,a_n$ ser números reales positivos. Demostrar que %#% $ #%
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, tenemos lo siguiente: $$(1+a_2)\left(1+\frac{a_1^2}{a_2}\right)\geq (1+a_1)^2$ $ $$(1+a_3)\left(1+\frac{a_2^2}{a_3}\right)\geq (1+a_2)^2$ $ $$\vdots$ $ $$(1+a_1)\left(1+\frac{a_n^2}{a_1}\right)\geq (1+a_n)^2$ $ de donde tenemos: $ $$\left(1+\frac{a_1^2}{a_2}\right)\left(1+\frac{a_2^2}{a_3}\right)\cdots\left(1+\frac{a_n^2}{a_1}\right)\prod_{i=1}^n (1+a_i)\geq \prod_{i=1}^n (1+a_i)^2.$$ By division with $\prod_{i=1}^n (1 + a_i) obtenemos $$\left(1+\frac{a_1^2}{a_2}\right)\left(1+\frac{a_2^2}{a_3}\right)\cdots\left(1+\frac{a_n^2}{a_1}\right)\geq \prod_{i=1}^n (1+a_i).$ $
