Si desea otra perspectiva sobre la cosa, considere la posibilidad de un modelo no estándar de la aritmética de Peano.
La costumbre de la intuición de estas cosas es que un modelo no estándar contiene el ordinario números naturales junto con un montón de extraños números infinitos, pero, no obstante, todavía se las arreglan para igual que el ordinario números naturales, incluso se satisface el axioma de inducción... siempre que se limite a la interna de las declaraciones: es decir, enunciados que pueden ser expresados en el lenguaje de la aritmética de Peano.
Usted puede voltear a su alrededor, a pesar de que-se pueden imaginar el modelo no estándar a ser el ordinario números naturales, y el modelo estándar a ser un extraño más pequeña colección de números naturales que de alguna manera es limitada, pero de alguna manera se las arregla de manera consistente obedecer a los axiomas de la aritmética de Peano, siempre y cuando se apegue a lo interno, pequeño declaraciones.
Mi intención, por supuesto, es que los pequeños números naturales, es decir, los contenidos en el modelo estándar que ahora corresponde más de cerca a "la subclase números naturales accesibles a los seres humanos". Y se han agregado características; por ejemplo, esta disposición no requiere la existencia de un mayor pequeño número natural. "Pequeño", no es parte del lenguaje de la aritmética de Peano, por lo que la costumbre inductivo prueba de que hubiera tal cosa no se aplica.
Curiosamente, creo que es posible que, en este tipo de configuración, para desarrollar un "conjunto infinito de la teoría de conjuntos pequeños". Como primer paso, se puede utilizar en grandes conjuntos como un proxy para la correcta clases; dos grandes conjuntos representan la misma clase si tienen los mismos elementos. A continuación, puede utilizar adecuada de las clases de objetos y subir al siguiente orden. No estoy del todo seguro de qué tan lejos se puede llegar con un programa de ese tipo.
Por desgracia, la única especie de axiomatization de este tipo de cosa que he visto es "interna de la teoría de conjuntos", que se basa en ZFC, en lugar de la aritmética de Peano, pero aún puede apelar a usted.
Escrito esta respuesta me ha ayudado a aclarar mis opiniones sobre ultrafinitsm. Quiero decir que los "humanos accesible" números ya axiomas de Peano directamente; no hay necesidad de probar y con un nuevo axiomatization.
Lo que necesitamos es un mayor de la teoría que nos permite hablar de la posibilidad de que existan los números inaccesibles para los seres humanos. Por lo tanto, mi enfoque sobre la incrustación de los humanos accesible números como un modelo estándar en el interior de una de mayor tamaño no estándar del modelo (o tal vez debería moneda nueva terminología: para incrustar los humanos accesible números naturales como una deficiente modelo de los números naturales). Y yo quiero hacer esto de una manera en que vence el habitual 'rareza' argumentos, tales como "debe ser un número más pequeño de lo que es humano-inacessible".
Pero como una advertencia, la mayoría de mis conocimientos de ultrafinitism viene de la famosa polémica de cuentas, que pueden se han centrado más en los reclamos de la deficiencia de la norma de matemáticas en lugar de la exposición acerca de lo que ultrafinitism en realidad es.
