Esto no tiene nada que ver con la serie de Fourier. Usted obtener una constante a trozos función periódica; este tipo de funciones también son populares en los ejemplos de la transformada de Fourier de la serie de libros de texto; y esa es toda la conexión que existe.
En general, los valores del límite de $F(x) = \lim_{n\to\infty} f_n(x)$ son puntos fijos de $f$, donde el límite existe. Puntos fijos pueden ser la atracción de ($|f'|<1$) o repeler ( $|f'|>1$ ) o indiferente ($|f'|=1$, que es un caso extremo). Sólo un conjunto discreto de puntos convergen para repeler un punto fijo, porque para acercarse a él, uno tiene que saltar directamente a ese punto. Así, en casi todos los puntos donde $F$ está definido, será igual a una atracción de punto fijo de $f$.
La función de $f(x)=2\sin x$ tiene dos atraer puntos, $\pm C$, y de repeler el punto fijo $0$. Ya que su rango es de $[-2,2]$, es suficiente con considerar el comportamiento en este intervalo:
![2sinx]()
La parte positiva de que el intervalo permanece invariante (como un todo) en virtud de esta función, y todos los puntos que hay un cambio hacia lo positivo atrae punto. Por lo tanto, $F(x)=C$ al $\sin x>0$. Del mismo modo, para la parte negativa.
Como Rahul observado, esto no es una propiedad especial de $2$; hay una serie de factores $k$ que $k\sin x$ tiene el mismo tipo de comportamiento dinámico.
En general, las órbitas no necesidad de converger a un punto fijo; un escenario común es quedar atrapado en un bucle entre dos o más intervalos que se correlacionan con el uno al otro. Esto sucede, por ejemplo, con la iteración de $f(x)=2\cos x$, que me escribió acerca de otros lugares.
