Funciones medibles con valores en espacios de Banach

Question

Mi pregunta se refiere a funciones con valores en espacios de Banach y bajo qué condiciones el límite de una sucesión de funciones medibles es también medibles.

Pero primero, permítanme recordar algunos conocidos los resultados de análisis real. Deje $(X,\mathcal{F})$ ser un espacio medible, $\bar{\mathbb{R}}$ extended real de la línea, y $\mathcal{B}(\bar{\mathbb{R}})$ el estándar de Borel $\sigma$-álgebra generada por el open conjuntos de $\bar{\mathbb{R}}$.

(1) Si una sucesión de funciones medibles $f_n:(X,\mathcal{F})\rightarrow(\bar{\mathbb{R}},\mathcal{B}(\bar{\mathbb{R}}))$ converge a una función de $f$ pointwise en $X$, $f$ también es medible w.r.t. $\mathcal{F}$ $\mathcal{B}(\bar{\mathbb{R}})$ . (Ver, por ejemplo, Rudin, Reales y Complejos Análisis, Teorema 1.14.)

(2) Esto se puede generalizar para el caso de una medida completa del espacio de $(X,\mathcal{F},\mu)$ y la convergencia de las $f_n$ $f$pointwise -$\mu$ -.e. en $X$. (Esto se afirma sin prueba en Hunter y Nachtergaele, el Análisis Aplicado, el Teorema de 12.24. Nadie puede señalar a una prueba de esto, o es trivial?)

Dudley (Análisis Real y Probabilidad, el Teorema 4.2.2) generaliza la parte (1) de arriba para funciones con valores en espacios métricos. Por lo tanto, (1) también se aplica para funciones con valores en un espacio de Banach $(Y,\Vert\cdot\Vert)$, con el correspondiente Borel $\sigma$-álgebra $\mathcal{B}(Y)$. Mi pregunta es: ¿puede la parte (2) ser también generalizada? En otras palabras, ¿el siguiente resultado:se

Deje $(X,\mathcal{F},\mu)$ ser una medida completa el espacio y el $(Y,\Vert\cdot\Vert)$ ser un espacio de Banach. Deje $f_n:(X,\mathcal{F})\rightarrow(Y,\mathcal{B}(Y))$ ser una secuencia de funciones medibles que converge a una función de $f$ pointwise -$\mu$ -.e. en $X$ (es decir, $\Vert f_n(x) - f(x)\Vert \rightarrow 0$$n\rightarrow\infty$, para $x$ $\mu$-una.e. en $X$), $f$ también es medible w.r.t. $\mathcal{F}$ $\mathcal{B}(Y)$.

Nota, yo uso "medible" en el estándar de sentido: si $U\in\mathcal{B}(Y)$$f^{-1}(U)\in\mathcal{F}$.

A mí me parece que el resultado debe mantener, pero no he sido capaz de encontrar una prueba en la norma de referencia. Es trivial? También, ¿por qué se debe que la medida del espacio de $(X,\mathcal{F},\mu)$ ser completa? Lo que falla si no está completa. Finalmente, si el resultado se mantiene, ¿significa esto que el estándar de medición es equivalente a los llamados fuertes o Bochner mensurabilidad? (Tal vez esta última pregunta debería ser el tema de otro post.)

Gracias de antemano!

Answer 1

Sí, es bastante trivial. Usted puede observar el siguiente hecho: si $f$ es medible, $\mu$ es completa, y $f = g$ $\mu$-una.e., a continuación, $g$ es medible. Esto es válido para las funciones de cualquier medida completa el espacio a cualquier otro espacio medible. (Demostrando que es un buen ejercicio.) Básicamente, cuando usted tiene una medida completa, puede cambiar a una función arbitraria en un conjunto null sin romper su mensurabilidad.

Ahora supongamos que $f_n \to f$ $\mu$-una.e., con cada una de las $f_n$ medibles. Deje $A$ el conjunto de $x$ tal que $f_n(x) \to f(x)$. Nota: $A$ es un conjunto medible desde $A^C$ $\mu$nulo y por lo tanto medible (por la integridad de la $\mu$). Vamos $$g_n = \begin{cases}f_n(x), & x \in A \\ 0, & x \notin A\end{cases}$$ Then clearly $g_n$ is measurable. Now $g_n(x)$ converges for all $x$, so the limit $g(x) = \lim_{n \to \infty} g_n(x)$ is measurable, as you know. But $g(x) = f(x)$ on $$, so $f = g$ a.e. By the fact above, $f$ es medible.

Si su medida subyacente espacio no es completa, ciertamente, las cosas pueden ir mal. Para un ejemplo trivial, vamos a $B$ ser cualquier conjunto que es $\mu$-null pero no medibles. Si $f_n$ es el cero de la función de $n$,$f_n \to 1_B$.e., pero $1_B$ no es una función medible.