Incrustar un toro en $\mathbb{R}^{n+1}$

Question

Es fácil ver que se puede incrustar en $T^2=S^1 \times S^1$ $\mathbb{R}^4$ pero también hay un incrustado en $\mathbb{R}^3$.

La pregunta es se puede incrustar en $T^n = S^1 \times \ldots \times S^1$, $\mathbb{R}^{n+1}$ $n>2$.

Answer 1

Si tenemos un % empotrar $T^k\subset\mathbb{R}^{k+1}$luego el % de inclusión de subespacio $\mathbb{R}^{k+1}\subset\mathbb{R}^{k+2}$nos permite ver $T^k$ como incrustado en $\mathbb{R}^{k+2}$. El límite del barrio tubular de $T^k$ $\mathbb{R}^{k+2}$ será un toro $T^{k+1}$ incrustado en $\mathbb{R}^{k+2}$, y procedemos inductivamente.

Answer 2

Usted sabe que incrusta $S^1$ $\mathbb{R}^2$, pero también incorpora $S^1\times\mathbb{R}$ $\mathbb{R}^2$ (considerar el Homeomorfismo del cilindro a $\mathbb{R}^2\setminus(0,0)$).

Por lo tanto incorpora $S^1\times\mathbb{R^2}$ $\mathbb{R}^3$, pero puesto que incrusta $S^1$ $\mathbb{R}^2$ tienes que $S^1\times S^1$ incrusta en $\mathbb{R}^3$.

Usted puede proceder por inducción: suponiendo que $T^{n-1}\times S^1$ incrusta en $\mathbb{R}^{n}$ (y también incrusta $T^{n-1}\times\mathbb{R}$ $\mathbb{R}^{n}$), tienes que $T^{n-1}\times\mathbb{R}^2$ incrusta en $\mathbb{R}^{n+1}$ y por lo tanto incorpora $T^{n}=T^{n-1}\times S^1$ $\mathbb{R}^{n+1}$ (y $T^{n}\times\mathbb{R}$ incrusta en $\mathbb{R}^{n+1}$).