¿Qué es la sheafification de la presheaf de la compactación de punto uno?

Question

Bien, así que he tenido esta idea para un presheaf que es bastante peculiar. En lugar de estar basado en algebraicas categoría (es decir, abelian grupos), se basa en un topológico uno, la categoría de espacios topológicos compactos.

Bueno, así que digamos que usted tiene un espacio de $X$. Un espacio abierto a $U$ está asociado con el punto de compactification, $U^*$. Para cada par $V \subseteq U$, tenemos un mapa continuo $\text{res}_{V,U}: U^* \to V^*$ se define como

$$\text{res}_{V,U}(x) = \begin{cases} x & \text{if $x \in V$} \\ \infty & \text{si $x \in U \backslash V \vee x = \infty$} \end{casos}$$

$\text{res}_{U,U}=\text{id}_{U^*}$ $\text{res}_{U,V} \circ \text{res}_{V,W} = \text{res}_{U,W}$ trivialmente. Por lo tanto, esta es una presheaf.

Mi pregunta es ¿cuál es la sheafification de este presheaf? (Estoy esperando que sea de algún tipo de localizada compactification!)

Answer 1

Esta es sólo una respuesta parcial, pero es demasiado largo para un comentario, así que voy a publicar esto como una respuesta y espero que nadie se queja.

Por simplicidad, vamos a llamar a su presheaf $\mathcal{F}$.

En primer lugar, echemos un vistazo en el tallo:

El tallo $\mathcal{F}_x$ es sólo va a ser el directo de límite (con respecto a la restricción que se define) de los espacios de $U^*$ $U$ abierto barrio de $x$. Esto va a ser el espacio $$\mathcal{F}_x = \left(\bigcap_{U \ni x} U\right) \cup \{\infty\}$$ with the topology in which the only non-trivial open set is $\{\infty\}$.

Un caso especial: el espacio es $T_1$

Que $X$ $T_1$ es equivalente a la intersección de los barrios alrededor de $x$ $\{x\}$ por cada $x$. En este caso, $\mathcal{F}_x = \{x\}^* = \{x,\infty\}$ con la topología $\{\emptyset,\{\infty\},\{x,\infty\}\}$. Recordemos que el sheafification $\mathcal{F}^{sh}(U)$ es un subconjunto de a $\prod_{x \in U} \mathcal{F}_x$, y, en particular, ya que cada una de las $\mathcal{F}_x$ contiene dos distinguidos puntos, esto puede ser identificado con los subconjuntos de a $U$, es decir, mirando donde no es $\infty$. Con esta identificación, $$\mathcal{F}^{sh}(U) = \{A \subseteq U \colon A~\mathrm{discrete}\}.$$ By a discrete space, I just mean every point is open. Restriction from $U$ to $V$ is just $\mapsto \cap V$.

Comentario

Incluso para los agradables espacios, este sheafification suelen ser bastante grandes. En particular, para nuestra $T_1$ de los casos, cada subconjunto finito es discreto!

Answer 2

Este sheafification no existe, en general, al menos si se quiere la categoría de destino a la categoría de espacios compactos. Para la construcción de la sheafification de una gavilla, necesita de la existencia de ciertos límites y colimits, y la categoría de los espacios compactos no tienen todos los límites y colimits (en particular, no tiene todos los ecualizadores y no tiene ningún infinito colimit tal que el colimit calculada en la categoría de todos los espacios no compactos). Por ejemplo, supongamos $X=\{0,1\}^\mathbb{N}$ es el conjunto de Cantor. Un cofinal de la familia de abra las cubiertas de $X$ está dado por $\mathcal{U}_n=\{\{x\}\times\{0,1\}^{[n,\infty)}:x\in\{0,1\}^n\}$, y todos los juegos en cada una de las $\mathcal{U}_n$ son disjuntas. De ello se deduce que debemos ser capaces de calcular el valor de la sheafification en $X$ como el secuencial colimit de los espacios de $Y_n=\prod_{U\in \mathcal{U}_n} U^*$, con mapas de la $Y_n\to Y_{n+1}$ dado por las evidentes restricciones. Pero este colimit no existe en la categoría de espacios compactos (de hecho, es fácil ver que cada mapa $Y_n\to Y_{n+1}$ es la inclusión de una adecuada clopen subconjunto).

El ejemplo del conjunto de Cantor fue utilizado sólo para la conveniencia de ser capaz de escribir explícitamente abajo un cofinal de la familia de abrir las cubiertas. En general, el mismo problema surge para casi todos los espacios: por ejemplo, en cualquier $T_1$ no-espacio discreto $X$, no existe un único mejores abra la cubierta de $X$, y para el colimit que describa el valor de la sheafification en $X$ probablemente no existe.