¿Por qué son ideales más importante que subrings?

Question

He leído que los subgrupos, subrings, submódulos, etc. son subestructuras.

Pero si nos fijamos en la definición de la Noetherian anillos y Noetherian módulos, Noetherian anillos se definen con los ideales y Noetherian módulos se definen con submódulos. No es incómodo? ¿Por qué submódulo corresponden a ideal, no sub-anillo? ¿Hay alguna definición de Noetherian con subrings?

Como estoy estudiando álgebra conmutativa, parece que los ideales son más importantes que subrings. Pero ¿por qué es ideal, no sub-anillo (que parece corresponder a todas las otras subestructuras)? Aunque yo no estoy muy familiarizado con pseudo-anillos, es cierto que el ideal es un sub-pseudo-ring (o sub-rng) y así podemos ver ideal como un tipo de subestructura?

Answer 1

El "derecho" de la noción de una estructura de una expresión algebraica gadget es el núcleo de un homomorphism. Para abelian grupos, y más en general de los módulos, estos son subgrupos, respectivamente submódulos. Para grupos, necesitamos normal subgrupos. Para los anillos, tenemos ideales.

Answer 2

Cualquier anillo de $R$ es un módulo sobre la misma, en el obvio manera: $R$ es un grupo abelian, y definimos $a\cdot b$$a\in R$$b\in R$$ab$.

Un submódulo de $R$-como-un-$R$-módulo es precisamente un ideal de a $R$ (trabajo fuera de las definiciones pertinentes para ver esto). Por lo tanto, la definición de un Noetherian anillo está diciendo realmente es que es un Noetherian módulo sobre sí mismo. De hecho, uno de los puntos importantes acerca de álgebra conmutativa que he aprendido de Atiyah-Macdonald es que, dado un anillo de $R$, lo que nos interesa tanto a los ideales de la $I\subset R$ y el cociente de los anillos de $R/I$$R$, e introducir el concepto de una $R$-módulo - que $I$, $R$, y $R/I$ son todos ejemplos de - nos permiten tratar todo lo que en más o menos igualdad de condiciones.

Yo no creo que los anillos de satisfacción de los ascendientes de la cadena de condición para subrings, a los que podríamos llamar "sub-anillo-Noetherian", se estudian o tienen buenas propiedades, pero yo podría estar equivocado acerca de esto.

Creo que es justo decir que los ideales son más importantes que subrings, pero subrings son todavía integral (ja, ja) para álgebra conmutativa. Usted está en lo correcto que si no exigimos nuestros anillos de tener una identidad multiplicativa, los ideales son subrings, es decir, "sub-generadores de números aleatorios".

Answer 3

Ambos ideales y subrings son importantes en el álgebra. Pero en general no hay una relación estrecha entre congruencias en $\rm\,A\,$ y subalgebras de $\rm\,A.\,$ en su Lugar, generalmente congruencias están relacionados con subalgebras de la plaza de la $\rm\,A^2,\,$ por ejemplo, ver aquí. Anillos (y grupos) son especiales en que sus congruencias son determinados por un único congruencia de la clase - que tiene el efecto del colapso de la relación de congruencias con subalgebras de $\rm\,A^2\,$ $\rm\,A.\,$

Una manera de comprender mejor la importancia de los ideales es el estudio de otras álgebras de cuyo congruencias son determinados por una sola clase de congruencia - los llamados ideal determinadas variedades. Se caracterizan por dos propiedades de congruencias, se $\,0$-regular y permutable, por ejemplo, ver a continuación de un punto de entrada en la literatura sobre estos temas.

EN SUSTRACTIVA VARIEDADES IV: DEFINABILITY DE LOS PRINCIPALES IDEALES

Paolo Agliano y Aldo Ursini

$0.\ \ $ Prólogo

Se nos ha pedido a las siguientes preguntas:

(a) $\ $ Lo que son ideales en álgebra universal?
(b) $\ $ Lo son de sustracción de variedades?
(c) $\ $ hay una razón para el estudio de definability de los principales ideales?

Estar en el medio de un proyecto en la sustracción de variedades, este parece el lugar adecuado para ocuparse de ellos.

Para (un). La noción de ideal, en general, álgebra [13], [17], [22] objetivos en la recaptura algunas propiedades esenciales de la congruencia de las clases de $0$, para algunas constante dada $0$. Se compone de: normal subgrupos, ideales en círculos o grupos de operador, filtros de Booleanos o de álgebras de Heyting, ideales en el álgebra de Banach, en l-grupos y en muchos más clásica los ajustes. En un sentido es un lujo, si uno está satisfecho con el la noción de "congruencia clase de $0$". Por lo tanto en parte a esta pregunta podría ser: ¿por Qué ideales en anillos? Por qué subgrupos normales en los grupos? Por qué filtros en álgebras Booleanas?, y muchos más. No nos sentimos como intentar cualquier la respuesta a esas preguntas. En otro sentido, la pregunta (a) sugiere similares preguntas: ¿cuáles son subalgebras en álgebra universal? y muchos más. Posiblemente, el conjunto de la empresa denominada "álgebra universal" es hay que responder a estas preguntas?

Habiendo dicho eso, es evidente que la mayoría de la configuración adecuada para una teoría de la de los ideales es que el ideal de determinadas clases (es decir, cuando la asignación de un congruencia E a su $0$clase $\,0/E\,$ establece una red de isomorfismo entre la congruencia de celosía y el ideal de celosía). El primer trabajo en este dirección [22] diámetro que en su título.

Se trata de que-para una variedad de $V$ - de ser ideal determinado es la conjunto de dos funciones independientes:

$1$. $V$ ha $0$-regular congruencias, es decir, para cualquier congruencias $E,E'$ de cualquier miembro de $V,\,$ $\,0/E = 0/E'$ es de la siguiente manera $E = E'$.

$2$. $V$ ha $0$-permutable congruencias, es decir, para cualquier congruencias $E,E'$ de cualquier miembro de $V,\,$ si $\ 0\, E\, y\, E'\, x,\,$ alguna $z,\ 0\, E'\, z\, E\, x$.

Answer 4

La respuesta a esto es (por la intención) muy similar a Zev Chonoles respuesta, pero he intentado poner en la terminología un poco más similar a la de la pregunta.

Cuando uno quiere estudiar un anillo de $R$, hay (al menos) dos de las avenidas de aproximación. El más ingenuo enfoque es el estudio de $R$ como una estructura de anillo. En este sentido, estás en lo correcto: una subestructura de $R$ es, precisamente, un sub-anillo de $R$. Sin embargo, mientras que el estudio de las estructuras de los anillos es, sin duda, importante, resulta que es aún más útil para el estudio de las estructuras de $R$-módulos. [Una forma de obtener un lenguaje de $R$-módulos es tomar el lenguaje de abelian grupos y añadir un 1-ary símbolo de función para cada elemento de a $R$.] Cuando uno considera $R$ como tener la estructura de una $R$-módulo en lugar de un anillo, entonces sus subestructuras son precisamente sus ideales.

¿Por qué es más útil para el estudio de $R$-módulos de los anillos? Es difícil dar una respuesta precisa a esa pregunta (especialmente desde el estudio de las estructuras de anillo, subrings, etc. es, de hecho, muy útil e importante), pero de una manera de pensar acerca de esto es que cuando usted está buscando a $R$-módulos, hay una buena noción de "cociente." Por otro lado, si usted tiene $S$ como un sub-anillo de $R$, luego, en particular,$1 \in S$; por lo que si intenta tomar un "cociente del anillo" $R/S$, usted tiene que establecer $1=0$ en el cociente del anillo, es decir, se obtiene el cero del anillo.