Por todas partes Super denso subconjunto de $\mathbb{R}$

Question

En primer lugar, esta pregunta está motivada por la falta de precisión de la pregunta: ¿hay un sensato noción de paridad (uniformidad y rareza) para los números reales?

Aquí están algunas de las propiedades de una noción de paridad para $\mathbb{R}$ debe tener:

1. Debe ser una relación de equivalencia en $\mathbb{R}$ con exactamente dos clases de equivalencia.
2. Cada clase de equivalencia debe ser densa en $\mathbb{R}$.
3. Debe haber algún tipo de simetría entre las dos clases de equivalencia. (Esto es intencionalmente impreciso.)

Si dividimos $\mathbb{R}$ en racionales y irrationals, esto carece de simetría, ya que los racionales tienen medida cero y son contables, mientras que los racionales tienen medida infinita y son innumerables.

Así, se podría requerir que cada clase de equivalencia ser innumerables y/o positivos (o infinito) de la medida. Luego tome una clase de equivalencia para ser racionales, de la unión con countably muchas grasas conjuntos de cantor con medida positiva, y la otra clase de su complemento. A continuación, ambas clases son densos, innumerables, y ha medida infinita. Pero, de nuevo, la simetría es insuficiente. Una de estas clases es "innumerables en todas partes" y ha "medida positiva en todas partes", mientras que el otro no.

Propongo algunas definiciones: Un subconjunto $A \subset \mathbb{R}$ es incontable en todas partes si para cualquier intervalo abierto $(a,b)$, la intersección $A \cap (a,b)$ es incontable. Un subconjunto $A \subset \mathbb{R}$ tiene medida positiva en todas partes si para cada intervalo abierto $(a,b)$, la intersección $A \cap (a,b)$ tiene medida positiva. Podemos ver de inmediato que tener medida positiva en todas partes implica innumerables en todas partes, desde un conjunto de medida positiva debe ser incontables.

Finalmente, mis preguntas:

1. Hay una partición de $\mathbb{R}$ en dos conjuntos que son ambos innumerables en todas partes?
2. Hay una partición de $\mathbb{R}$ en dos conjuntos que ambos tienen medida positiva en todas partes?
3. Hay una partición de $\mathbb{R}$ en dos conjuntos que dividir cada intervalo de $(a,b)$ en dos partes de igual medida?

Posibles generalizaciones para crédito extra: ¿Qué acerca de las particiones de $\mathbb{R}$ $n$ clases de equivalencia, donde $n \in \mathbb{N}$, o incluso con countably muchos, o incluso una cantidad no numerable de clases de equivalencia?

Nota: Si has visto estas definiciones de innumerables en todas partes o medida positiva en todas partes en algún lugar bajo un nombre diferente, por favor hágamelo saber. Nunca he encontrado nada donde había otras personas que estaban pensando acerca de estas nociones.

EDIT: Por "medida", me refiero a Lebesgue exterior de la medida, de modo que no tenga que preocuparse de nada ser medibles.

Answer 1

1) y 2): Sí. Tomar la unión de countably muchos adecuado "grasa de conjuntos de Cantor".

3) No. Por la Densidad de Lebesgue Teorema, si $A$ es un subconjunto medible de $\mathbb R$, $m(A \cap (t-\epsilon, t+\epsilon))/(2\epsilon) \to 1$ para casi todas las $t \in A$ $0$ para casi todas las $t \notin A$.

EDITAR con más detalles en 1) y 2):

Enumerar los intervalos abiertos $(a,b)$ $a$ $b$ racional y $a < b$$I_n = (a_n, b_n)$. Voy a construir inductivamente conjuntos disjuntos $A$, $B$ como la unión de secuencias de $A_n$, $B_n$ de ningún lugar cerrado densos conjuntos de medida positiva (grasa de conjuntos de Cantor), donde$A_n \subset I_n$$B_n \subset I_n$.

Dado $A_1, \ldots, A_{n-1}, B_1, \ldots, B_{n-1}$, su unión es cerrado ningún lugar-denso conjunto, por lo $I_n$ contiene algunos intervalo de $(c,d)$ disjunta de ese conjunto. Deje $A_n$ ser una grasa conjunto de Cantor en $(c, (c+d)/2)$ $B_n$ grasa conjunto de Cantor en $((c+d)/2, d)$.

Ahora vamos a $A = \cup_{n=1}^\infty A_n$ $B$ su complemento (que contiene a $\cup_{n=1}^\infty B_n$). Cualquier intervalo abierto $(a,b)$ contiene algunos $I_n$ y su correspondiente $A_n$$B_n$, y por lo tanto $m((a,b) \cap A) \ge m(A_n) > 0$ $m((a,b) \cap B) \ge m(B_n) > 0$.

EDIT: Si $A$ no es medible, no se puede hablar de la medida de su intersección con un intervalo. Se podría hablar exterior de la medida, sin embargo: el (Lebesgue) exterior de la medida de un conjunto es el infimum de las medidas de todos los conjuntos de Borel que la contienen. Usted podría, por ejemplo, considerar un conjunto de Bernstein $A$. Este tiene la propiedad de que cada medibles conjunto de medida positiva cruza tanto $A$ y su complemento. El resultado es que el exterior de la medida
de $A \cap (a,b)$ $A^c \cap (a,b)$ ambos $b-a$.

Answer 2

Vamos a empezar con $A=\Bbb Q$ $B=\{x| x-\pi \in\Bbb Q\}$ y ampliarlos hasta que cada número en $\Bbb R$ es en el uno o el otro. Ya los tenemos tanto en todas partes densa, lo que no puede desaparecer. También tenemos una buena simetría entre ellos, que a mi gusto no desaparece. Nuestro resultado (casi seguro) no ser medibles. Sólo así el fin de los reales. Si el primero no está ya en $A$ o $B$, lo puso en $A$. De lo contrario (la probabilidad de $0$) pasar a la segunda y la puso en $A$. Mira el siguiente sin asignar real, y lo puso en $B$. Seguir alternando hasta que haya colocado todos los reales en uno de los dos conjuntos. Este es, sin duda en el espíritu de incluso vs odd, perturbado por la puesta en marcha de los conjuntos de los que estaban allí para asegurarse de densidad. Yo no te puedo decir que uno de los $e$ es, pero sospecho que Robert Israel no puede decirle que acerca de sus sets.