En la siguiente imagen, el autor de el Campo y la Onda Electromagnética se muestra el significado geométrico de la dirección del gradiente. Es decir, siguiendo la dirección del vector normal a la curva en el que el puntero podría la tasa de cambio sea el máximo.
Pero, ¿qué acerca de la interpretación geométrica de la magnitud del gradiente de la general, o tal vez hay un geométricas interpreation de la magnitud de graident?
gracias.
El gradiente se define una dirección; la magnitud de la pendiente es la inclinación de su superficie en esa dirección.
Esta dirección sólo entonces pasa a ser uno en el que tienes que ir a conseguir la máxima pendiente.
Digamos que usted tome el gradiente de un N de la superficie en N+1 espacio. Por ejemplo, el gradiente de una superficie 2D en el espacio 3D. El gradiente se apuntan en la dirección que usted tiene que ir en obtener el mayor aumento de la "altura" (+1 dimensión). Así que, en otras palabras, si usted va en la dirección en la que el gradiente de puntos, verás que el mayor incremento.
La magnitud de la pendiente es la velocidad a la que aumentan sucede. Literalmente, es la pendiente de la superficie en ese punto a lo largo del eje definido por el gradiente de la dirección. En consecuencia, la magnitud del gradiente de cualquier punto sobre una superficie es la pendiente más pronunciada que usted puede encontrar en la superficie!
Los gradientes son en realidad define a comportarse como se describió anteriormente, pero, tal vez usted es como yo, y quieres un poco de matemática prueba de ello.
Vamos a empezar con el plano tangente a la superficie en algún momento. Si lo anterior es cierto, entonces la magnitud de su gradiente debe ser igual a la pendiente del plano a lo largo de la dirección definida por el gradiente! Para empezar, vamos a definir rápidamente la pendiente de un plano en una dirección determinada:
Si queremos saber la pendiente de un plano en una dirección determinada, nos basta con encontrar la pendiente de dicho plano entre el punto (0, 0), y el punto representado por nuestra dirección arbitraria. Para simplificar este procedimiento, podemos cambiar nuestro avión, así que pasa por el punto (0, 0, 0), ya que cambiar un avión no cambia su pendiente.
Para recapitular, la pendiente de un plano en algunos 2D dirección D es igual a la pendiente de una similar avión (que pasa a través de (0,0,0))) entre los puntos (0,0) y D.
La pendiente de un plano entre 2D puntos (0,0) y D está dada por:
$$ \frac {\frac{\partial z}{\partial x}D_x + \frac{\partial z}{\partial y}D_y}{||D||} $$
O:
$$ \frac {\frac{\partial z}{\partial x}D_x + \frac{\partial z}{\partial y}D_y}{\sqrt{D_x^2 + D_y^2}} $$
Desde esta vertiente-en-un-dirección se define sólo en términos de las derivadas parciales de nuestro avión, y desde entonces las derivadas parciales de cualquier plano tangente a la superficie son los mismos que los de la superficie en el punto de tangencia, podemos hacer la afirmación de que:
La pendiente de una superficie en el punto (x, y) en la dirección D está dada por la expresión: $$ \frac {\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}D_x + \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}D_y}{\sqrt{D_x^2 + D_y^2}} $$
Mientras tanto, el gradiente de nuestra superficie en este punto está dada por la expresión:
$$ {\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} \hat{x} + \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} \hat{y}} $$
lo que significa que la pendiente de nuestra superficie en el punto (x, y) en la dirección del gradiente en ese punto (como se define por nuestra bajada en dirección argumento anterior) dada por:
$$ \frac {\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} \cdot \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} + \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} \cdot \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}}{\sqrt{\left(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} \right)^2}} $$
Esto, por supuesto, que se simplifica a:
$$ \frac {\left(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} \right)^2}{\sqrt{\left(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} \right)^2}} $$
Ahora la parte divertida! Vamos a definir algunos temporal de la variable J como:
$$ J = \left(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} \right)^2 $$
Nuestro "simplificado" de la expresión para la pendiente de nuestra curva en cualquier punto (x,y) a lo largo de su gradiente en (x,y) se convierte en:
$$ \frac {J}{\sqrt{J}} $$
Que es lo mismo que simplemente
$$ \sqrt{J} $$
Que es la misma cosa que
$$ \sqrt{\left(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} \right)^2} $$
Que, pero, por supuesto, por el teorema de pitágoras, es la misma expresión que la magnitud de nuestro gradiente en el punto (x,y)!
Y así, hemos demostrado que, sí, la magnitud de la pendiente de una superficie en algún punto es la misma que la pendiente de la superficie a lo largo de dicho gradiente.
Espero que esto ayudó!
Nota al margen: Hans Lundmark la respuesta de toques sobre esto un poco; las curvas hechas a partir de las intersecciones de su volumen en 4D espacio con aviones son uniformemente espaciados posiciones en el 4º eje (equivalente a las líneas de contorno de una superficie en el espacio 3D), de hecho, estar más cerca juntos cuando la pendiente de su volumen es más pronunciada; esto es debido a que, como era de esperar, cruzamos a través de más de altura de las superficies (y por lo tanto más "vertical" de la distancia) en un área en la cual es más pronunciada que en una zona que es menos pronunciada. Esperemos que la pendiente por encima de la explicación que hace ¿por que es (específicamente, cómo se relaciona con la magnitud del gradiente, un poco más claro.
Esta es una forma geométrica de pensar que podría ser útil: considerar una familia de superficies planas $f(x,y,z)=C$ algunos valores espaciados uniformemente de $C$ (donde el espacio debe ser bastante pequeño). Estas superficies acostará estrechamente apiladas en espacio cerca de puntos donde $|\nabla f|$ es grande y más lejos aparte cerca de los puntos donde $|\nabla f|$ es pequeño.
(Las contrapartes bidimensionales son curvas de constante elevación en el mapa, son densamente poblados donde la pendiente del terreno es inclinada).
Si usted está en un punto de ${\bf p}$ en el dominio de $f$, entonces la tasa de cambio de $f$ cuando a partir de ${\bf p}$ a cerca de los puntos depende de la dirección que tome. El gradiente $\nabla f({\bf p})$ es un vector que se adjunta en el punto de ${\bf p}$; apunta en la dirección de máxima positiva de la tasa de cambio de $f$. La tasa real de cambio en este sentido es $|\nabla f({\bf p})|$, y en la dirección opuesta es $-|\nabla f({\bf p})|$. Para una unidad arbitraria de vectores ${\bf e}$ conectado a ${\bf p}$ $directional\ derivative$ $f$ dirección ${\bf e}$ está dado por el producto escalar $\nabla f({\bf p})\bullet {\bf e}$.
Si usted está de pie en un punto sobre una colina, el gradiente da la dirección de la subida más empinada de ese lugar de inmediato hacia el exterior. La magnitud del gradiente da tan pronunciada que el ascenso es, por elemental de la pendiente.
Si usted trabaja fuera el álgebra, la tasa de cambio de una función de $f$ en la dirección del vector unitario $\eta$ $\nabla f \cdot \eta$ (Esto es simplemente la regla de la cadena.). Esta cantidad alcanza su máximo cuando se $\eta$ de las acciones en la misma dirección como $\nabla f$ (para maximizar el coseno del ángulo que forma parte del producto escalar de la fórmula). Por lo tanto la magnitud de $\nabla f$ da la tasa de cambio en esa dirección, así.
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