De fondo
Se trata de un estándar y un hecho importante en la básica de cálculo/análisis real de que una función continua en un compacto de espacio métrico es, de hecho, uniformemente continua. Es decir, supongamos $(X,d)$ es un espacio métrico compacto y $f\colon X \to\mathbb R$ es tal que para cada a $x\in X$ $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que $d(x,y)<\delta$ implica $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$. De hecho, una $\delta$ pueden ser elegidos independientemente de $x^.
Pregunta
Hace una declaración similar sobre la semi-funciones continuas? Para la concreción, vamos a considerar superior semi-funciones continuas, así que supongo $(X,d)$ es compacto y $f\colon X \to\mathbb R$ tiene la propiedad de que para cada $x\in X$ $\varepsilon >0$ existe $\delta >0$ tal que $d(x,y)<\delta$ implica $f(y) < f(x)+\varepsilon$. (Tenga en cuenta la asimetría de $x$ $y$ en esta definición). Entonces, ¿es verdad que $\delta=\delta(\varepsilon)$ puede ser elegido de forma independiente de $x$?
La reformulación
Dado $\delta, \epsilon > 0$, considerar el conjunto $$ X_\delta^\epsilon := \lbrace x\X \a mediados de f(y) < f(x) + \epsilon \text{ para todo } y\in B(x,\delta) \rbrace. $$ A continuación, $f$ es superior semi-continua si y sólo si $\displaystyle\bigcup_{\delta>0} X_\delta^\epsilon = X$ por cada $\epsilon > 0$, e $f$ es uniformemente superior semi-continua si y solo si esta unión se estabiliza, es decir, si para cada a $\epsilon > 0$ existe $\delta>0$ tal que $X_\delta^\epsilon = X$.
