Incrustación de $\mathbb{F}_{q^2}^*$ $GL_2(\mathbb{F}_{q})$

Question

Si consideramos un $\mathbb{F}_{q^2}$ $2$-dimensional espacio del vector encima $\mathbb{F}_{q}$ (y recoger una base) entonces podemos identificar $\operatorname{Aut}_{\mathbb{F}_{q}}(\mathbb{F}_{q^2})$ $GL_2(\mathbb{F}_{q})$. Por lo tanto podemos incrustar $\mathbb{F}_{q^2}^*$ $GL_2(\mathbb{F}_{q})$, por la acción natural de $\mathbb{F}_{q^2}^*$ $\mathbb{F}_{q^2}$.

Sin embargo, tengo dificultades para visualizar concretamente el subgrupo $E$ $GL_2(\mathbb{F}_{q})$ que debe ser congruente a $\mathbb{F}_{q^2}^*$. ¿Hay una buena manera de ver este grupo $E$?

Answer 1

Si $q$ es impar podemos hacer lo siguiente. Elija un no-plaza elemento $\epsilon\in \Bbb{F}_q^*\setminus (\Bbb{F}_q^*)^2.$ Con respecto a una base adecuada los elementos de la extensión del campo, cuando representados por matrices, entonces tiene la forma $$ \Bbb{F}_{p^2}=\left\{\left( \begin{array}{rr} a&b\\ \epsilon b&a \end{array}\right)\,\bigg\vert\ a,b\in\Bbb{F}_q\right\}. $$ El conjunto de las matrices es fácilmente visto como un espacio vectorial sobre $\Bbb{F}_q$ y cerrado bajo la multiplicación. Debido a que el factor determinante que tiene la forma de $a^2-\epsilon b^2$, nuestra suposición implica que se desvanece sólo al $a=0=b$. Por lo tanto, todos los elementos de las matrices se invertible. Por lo tanto, se forma un campo de cardinalidad $q^2$.

Esto es particularmente simple en el caso de $q\equiv 3\pmod 4$, porque podemos, a continuación, elija $\epsilon=-1$ y terminar con el análogo de la conocida representación de los números complejos como $2\times2$ real de las matrices. La razón de esta similitud es, por supuesto, que utilizamos en la construcción $$ \Bbb{F}_{p^2}=\Bbb{F}_q[\sqrt\epsilon]. $$

Al $q$ es incluso hay formas similares, pero no son tan "limpio". Si $a\in \Bbb{F}_q$ es tal que su absoluta de seguimiento es $=1$ (es decir, no desaparece), entonces el polinomio $p(x)=x^2+x+a$ es irreducible en a $\Bbb{F}_q[x]$, y podemos elegir una base $\{1,\alpha\}$ donde $\alpha$ es un cero de $p(x)$.

Answer 2

No podría ser una descripción totalmente satisfactoria.

Tenga en cuenta que el % del subgrupo $E\le GL_2(\Bbb F_q)$varía según la elección de la base.

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Sabiendo que el grupo multiplicativo de un campo finito es cíclico, elegir un generador $\alpha$ $\Bbb F_{q^2}$ y elegir la siguiente base de $\Bbb F_{q^2}$ $\Bbb F_q$: $$(1,\,\alpha)$ $ entonces el % de asignación lineal $x\mapsto \alpha\cdot x$se convierte en el % de matriz $M$con columnas $(\alpha,\alpha^2)$.
[Nota que $\alpha=\pmatrix{0\\1}$ en nuestra base elegido].

y consiste de todos los poderes de $E$ $M$.