Encontrar un álgebra de funciones lisas en un múltiple con un producto determinado.

Question

Estoy teniendo problemas con el siguiente ejercicio de Jet Nestruev la Suave Colectores y Observables. Es uno de los primeros ejercicios en el libro y no tengo idea de cómo abordar este tipo de problema. He tenido cierta exposición a los elementales de la geometría diferencial (especialmente de las curvas y superficies), pero no sé cómo debo pensar sobre este ejercicio: ¿existe un método estándar para acercarse a ella o debo saber la respuesta de otras fuentes (e.g ejemplos clásicos de la geometría diferencial)?

Podría usted por favor me apunte en la dirección correcta?

Supongamos que el $\mathbb{R}$-álgebras $\mathcal{F}_1$ y $\mathcal{F}_2$, como espacios vectoriales son isomorfos al plano $\mathbb{R}^2$. Vamos a la multiplicación en $\mathcal{F}_1$ y $\mathcal{F}_2$ , respectivamente, dado por las relaciones

$(x_1, y_1) \cdot (x_2, y_2) = (x_1x_2, y_1y_2) \quad (1)$

$(x_1, y_1) \cdot (x_2, y_2) = (x_1x_2 + y_1y_2, x_1y_2 + x_2y_1) \quad (2)$

Encontrar el colector $M_i$ para que el álgebra $\mathcal{F}_i$, $i =1, 2$, es el álgebra de las funciones lisas, indicar explícitamente qué la función en $M_i$ corresponde al elemento $(x, y) \in \mathcal{F}_i$. Son las álgebras de $\mathcal{F}_1$ $\mathcal{F}_2$ isomorfos?

Answer 1

Es inmediato que $F_1 = \mathbb{R} \times \mathbb{R} \cong C^{\infty}(1+1)$, $1+1$ Dónde está el colector discreto con dos elementos. El álgebra segundo tiene la unidad $(1,0)$, y que es generado por $u=(0,1)$, $u^2=1$ de satisfacción. Por lo tanto, $F_2 \cong \mathbb{R}[x]/(u^2-1) \cong \mathbb{R}[u]/(u+1) \times \mathbb{R}[u]/(u-1) \cong \mathbb{R} \times \mathbb{R} = F_1$. Se asigna

$$F_2 \ni (x,y) \mapsto \overline{x+uy} \mapsto (\overline{x+uy},\overline{x+uy}) \mapsto (x-y,x+y) \in F_1.$$