El espacio de funciones integrables Riemann con $L^2$ interno producto no es completado

Question

Estoy tratando de encontrar una secuencia de funciones integrables Riemann en $[0,1]$ convergiendo en $L^2$ un Lebesgue, pero no función integrable de Riemann.

Trató la función de Dirichlet, pero no pudo encontrar una secuencia convergente a la misma.

Answer 1

Deje $q_n$ ser una enumeración de los racionales en $[0,1]$. Vamos $A_n = \cup_{k=1}^n (q_k-\frac{1}{2^{k+1}},q_k-\frac{1}{2^{k+1}})$, $A = \cup_n A_n$.

En el siguiente voy a utilizar $A^c$ para denotar el complemento con respecto al espacio de $[0,1]$. Tenga en cuenta que $0<m A <1$, y, por tanto,$m A^c >0$.

A continuación, vamos a $f_n = 1_{A_n}$, $f = 1_A$. A continuación, $f_n$ es Riemann integrable y $f_n \to f$ $L^2$ norma. Sin embargo, $f$ no es Riemann integrable.

Para mostrar que $f$ no es Riemann integrable, se nota que si $x \in A^c$, $B(x,\epsilon)$ contiene puntos de a $A$ todos los $\epsilon>0$. En particular, si $I \subset [0,1]$ es un intervalo que se cruza con $A^c$, entonces también se intersecta $A$. Además, si $\pi=\{I_1,...,I_k\}$ es una partición de a $[0,1]$, e $K = \{i | I_i \cap A^c \neq \emptyset \}$,$\sum_{i \in K} l(I_i) \geq m A^c$. Sin embargo, si $i \in K$,$\inf_{x \in I_i} f(x) = 0$$\sup_{x \in I_i} f(x) = 1$, por lo tanto, tenemos $U(f,\pi) -L(f,\pi) \geq m A^c >0$. Por lo tanto $f$ no es Riemann integrable.

Adenda: La conclusión anterior es correcto, pero no responde a la pregunta. Ya que estamos tratando con la convergencia en $L^2$, que necesita para asegurarse de que la conclusión anterior sigue siendo válido incluso si $f$ es redefinido en un conjunto de medida cero.

Supongamos que tenemos una función medible $g$ tal que $\Omega = \{ x | f(x) \neq g(x) \}$ satisface $m \Omega = 0$. Tomamos nota de que, por definición, de $f$ si $f(x) = 1$ (es decir, $x \in A$), entonces existe algún pequeño intervalo de $J$ de medida positiva tal que $x \in J \subset A$. Por lo tanto, si $\sup_{x \in I_i} f(x) = 1$,$\sup_{x \in I_i\cap \Omega^c} f(x) = 1$, y, por tanto,$\sup_{x \in I_i} g(x) \ge 1$.

Ahora vamos a $K' = \{i | I_i \cap A^c \cap \Omega^c \neq \emptyset \}$, y repita el análisis anterior con $K$ reemplazado por $K'$. Tomamos nota de que $m A^c = m (A^c \cap \Omega^c)$, y además, si $i \in K'$ tenemos $\inf_{x \in I_i} g(x) \le \inf_{x \in I_i \cap \Omega^c} g(x) = \inf_{x \in I_i \cap \Omega^c} f(x) = 0$. Por lo tanto llegamos a la misma conclusión, que $g$ no es Riemann integrable.

Answer 2

Consideremos la siguiente secuencia $\{f_n\}$, donde $f_n(x)=x^{-1/4}\chi_{[\frac{1}{n},1]}$.

1. Claramente, cada $f_n(x)$ es Riemann integrable.
2. Podemos comprobar es una secuencias de Cauchy en $L^2$-métrica. Esto es porque para $m>n$, $\|f_m-f_n\|^2=\int_0^1|f_m-f_n|^2 = 2(\frac{1}{n}-\frac{1}{m})< \frac{2}{n}$.
3. Fácilmente, podemos demostrar que $f_n\to f(x):= x^{-1/4}$ en $L^2$-métrica.
4. Obviamente, $f$ no es una función integrable de Riemann ya que no está limitado.