Estoy estudiando Lattice QCD y se quedó atascado en la comprensión del proceso de pasar de una Minkwoski espacio-tiempo, a un espacio Euclídeo de tiempo. Mi procedimiento es el siguiente:
He considerado que la Mecha de la rotación en quantum mechanincs $x_0 \to -i x_4$. A partir de esto, pensé que sería razonable suponer que el potencial vector, la Mecha de la rotación serían $A_0 \to -i A_4$, ya que el $A_\mu$ es un cuatro-vector como $x_\mu$. Esto implica $F_{0 i}F^{0 i} \to -F_{4 i}F_{4 i}$, y suponiendo una métrica $g^{\mu \nu} = \;\mbox{diag}(1,-1,-1,-1)$, esto se traduce en $F_{\mu \nu}F^{\mu \nu} \to -F_{\mu \nu}F_{\mu \nu}$. Ahora, teniendo en cuenta que el $d^4x = dt\, d^3x \to -i d\tau\, d^3x$ la acción debe transformar como
\begin{equation} i S = -\frac{i}{2}\int d^4x \;\mbox{Tr}(F_{\mu \nu}F^{\mu \nu}) \to \frac{1}{2}\int d^4x \;\mbox{Tr}(F_{\mu \nu}F_{\mu \nu}) = S_E\,, \end{equation} donde $S_E$ es la distancia Euclídea de acción, que es un número positivo. Por eso, $iS \to S_E$ en lugar de la esperada $iS \to -S_E$. Obviamente estoy haciendo algo mal. Sospecho que podría ser en la transformación de la $d^4x$, pero no veo por qué sería incorrecto. Una cosa que he notado es que si puedo utilizar la métrica $g^{\mu \nu} = \;\mbox{diag}(-1,1,1,1)$, luego me sale la señal adecuada. Pero esto está cambiando la métrica en el medio del cálculo, lo que sería un error, sin compensar con una adecuada menos de la señal y, a continuación, el problema persistiría.
Tengo problemas con el Fermionic sector. Yo consideraba $\partial_0 \to -i\partial_4$ tras la transformación de $x_0$. También, He visto en los libros (Gattringer, Rothe) que era necesario que el$\gamma^0 \to \gamma_4$$\gamma^i \to i \gamma_i$, por lo que la definición de la $\gamma$ matrices podrían cambiar de $\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\} = 2 g^{\mu \nu} \to \{\gamma_\mu, \gamma_\nu\} = 2 \delta_{\mu \nu}$. Es seens razonable. El problema es que la transformación en la acción se convierte en
\begin{equation} iS = i\int d^4x \; \bar{\psi}(i\gamma^\mu \partial_\mu + g_0 \gamma^\mu A_\mu - m)\psi \to \int d^4x \;\bar{\psi}(\gamma_\mu \partial_\mu - i g_0 \gamma_\mu A_\mu - m)\,, \end{equation}
que no es el Eucliden acción. He intentado utilizar $A_0 \to i A_4$ en la esperanza de que yo podría haber hecho algún error en la lógica anterior, pero no hubo suerte. Entonces, ¿cuál es la receta para realizar la Mecha de la rotación? Cómo averiguar qué transformaciones que debo realizar en una mecha de rotación? Recomendaciones de documentos y libros son bienvenidos. Gracias por la ayuda.
