Probando $b_n$ } $_{n=1}^ \infty $ converge dado { $a_n$ } $_{n=1}^ \infty $ y { $a_n b_n$ } $_{n=1}^ \infty $

Question

Supongamos que $a_n$ } $_{n=1}^ \infty $ y { $b_n$ } $_{n=1}^ \infty $ son secuencias tales que { $a_n$ } $_{n=1}^ \infty $ coberturas a A $ \neq $ 0 y { $a_n b_n$ } $_{n=1}^ \infty $ converge. Pruebe que { $b_n$ } $_{n=1}^ \infty $ converge.

Lo que tengo hasta ahora:

$b_n = {a_n b_n \over a_n}$ $ \to $ $C \over A$ , $A \neq0 $

| $b_n - {C \over A}$ | = | ${a_n b_n \over a_n} - {C \over A}$ | = | ${Aa_nb_n - Ca_n \over Aa_n}$ | $ \leq $ | ${1 \over Aa_n}||Aa_nb_n - Ca_n$ |=| ${1 \over Aa_n}||a_n(Ab_n - C)$ |

$ \leq |{1 \over Aa_n}||a_n||(Ab_n - C)$ |. Nota: ya que $a_n$ converge, hay M>0 tal que | $a_n| \leq $ M de todos n $ \in\Bbb N$ .

Así que ${1 \over Aa_n}||a_n||(Ab_n - C)$ | = | ${1 \over M}||M||(Ab_n - C)$ |. Y aquí es donde me pierdo. ¿Alguna idea? ¿O estoy completamente equivocado para empezar?

Answer 1

Pista: Deje que $A= \lim\limits_ {n \to\infty }a_n$ y $B= \frac { \lim\limits_ {n \to\infty }a_nb_n}{A}$ .

Desde $|A|>0$ para $n$ lo suficientemente grande, $|a_n-A| \le\frac {|A|}{2}$ . Entonces demuéstralo, $|a_n| \ge\frac {|A|}{2}$ .

Entonces note que $$ a_n(b_n-B)=(a_nb_n-AB)-B(a_n-A) $$

Answer 2

Mh que se trata de algo como:
$a_n b_n$ converge ahora llamemos al límite $C$ como $A \neq 0$ podemos escribir $C=A \cdot B$ con $B= \frac {C}{A}$ $$ \begin {align*} |a_n b_n - A \cdot B| &= |a_n b_n - b_n A +b_n A - A \cdot B| \\ &=|b_n(a_n-A) + A(b_n-B)| \\ \end {align*} $$ Porque $a_n$ converge la primera parte converge en cero, como sabemos que el lhs converge el rhs tiene que converger, así que $$|A(b_n-B)|=|A| |b_n-B| $$ debe converger a cero, como sabemos $|A| \neq 0$ sabemos $$ |b_n-B|$$ converge en $0$ . Y así $b_n$ converge en $B$

Como Robjohn señaló, tenemos la desigualdad del triángulo $$|A(b_n-B)| \leq |a_n b_n - AB| + |b_n(a_n-A)| $$ Como sabemos $a_nb_n$ converge con $a_n$ no convergen en $0$ . Si $b_n$ no está limitado $a_n b_n$ no puede converger, como sabemos $a_nb_n$ es convergente, tenemos $b_n$ está limitada.

Answer 3

$$ \frac { \lim_ {n \to\infty }a_n b_n}{ \lim_ {n \to\infty }a_n} = \lim_ {n \to\infty } \frac {a_n b_n}{a_n} = \lim_ {n \to\infty }b_n.$$

Esto es legítimo porque empiezas con límites que sabes que existen. El resto son propiedades estándar de los límites de las secuencias que se encuentran en cualquier libro de texto de cálculo.