Cuáles son lo espacios finito-dimensionales $W$ de funciones diferenciables con esta propiedad: si es $f$ $W$, entonces es de $\frac{df}{dx}$ $W$.
Respuesta
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Exactamente las generadas por $x^k e^{cx}$ varios $c\in \mathbb{C}$. ( $\mathbb{R}$ , Se debe utilizar senos y cosenos, así como exponenciales)
Finito-dimensionalidad es la clave. Tenemos un operador $D: W\to W$, lo $W$ se descompone en generalizada subespacios propios. Los posibles vectores propios de este operador son exactamente $e^{cx}$ varios $c\in\mathbb{C}$, y se puede comprobar la generalización de la subespacios propios son atravesados por elementos de $\{x^k e^{cx} \mid c\in\mathbb{C}, k=0,1,2,\ldots\}$.
Por cierto, si usted escribe la ecuación característica para $D$, se obtiene un ordinario de la ecuación diferencial lineal cuya solución es, precisamente, $W$ (esto se deduce de contar dimensión). Por supuesto, esto es lo contrario de cómo se hace usualmente en un primer ecuaciones diferenciales curso, donde se nos da la ecuación y pidió a la construcción $W$.
Para dar un ejemplo de que el último párrafo: si $W$ base $\{1, x, e^x\}$, entonces podemos representar a $D$ (con respecto a esta base) por la matriz $A=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. El polinomio característico es: $$\det(XI - A) = \det{\begin{pmatrix}X & -1 & 0 \\0 & X & 0 \\0 & 0 & X-1 \end{pmatrix}} = X^2(X-1)$$
Por Cayley-Hamilton, $D$ satisface su propio polinomio característico, por lo $D^3 - D^2 = 0$ como operadores en $W$. Es decir, todos los $f\in W$ satisface $(\frac{d^3}{dx^3} - \frac{d^2}{dx^2})f = 0$. Pero esto es exactamente la ecuación diferencial lineal $f''' = f''$, y, por métodos estándar, su conjunto solución es atravesado por $\{1,x,e^x\}$, es decir, cada una de las soluciones a esta ecuación ya se encuentra en $W$. Así que lo que he hecho realmente aquí se describe un diccionario entre finito-dimensional espacios vectoriales de funciones, cerrado en virtud de la diferenciación, y ecuaciones diferenciales lineales.
