La naturaleza discreta de la DP hace inadecuado para aplicaciones generales en Bayesiano nonparametrics, pero es muy adecuado para el problema de la colocación de los priores de la mezcla de los componentes en la mezcla de modelado.
Esta cita es de Jerárquica de Dirichlet Procesos (Teh, et al, (2006)$^{[1]}$) y yo estaba buscando una explicación acerca de lo que significa. Bayesiano nonparametrics parece ser un término demasiado vago para mí entender lo que el autor se está refiriendo.
${[1]}$ Teh, Y. W., Jordania, M. I., Beal, M. J., Blei, D. M. (2006): "Jerárquica De Los Procesos De Dirichlet". Revista de la Asociación Americana de Estadística, 101, pp 1566-1581.
Respuesta
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Con probabilidad uno, las realizaciones de un Proceso de Dirichlet son discretas de probabilidad de medidas. Una rigurosa prueba se puede encontrar en
El palo de romper la representación de la Dirichlet Proceso hace que esta propiedad transparente.
Dibujar independientes $B_i\sim\mathrm{Beta}(1,c)$$i\geq 1$.
Definir $P_1=B_1$$P_i=B_i \prod_{j=1}^{i-1}(1-B_j)$$i>1$.
Dibujar independientes $Y_i\sim F$$i\geq 1$.
Sethuraman demostrado que la distribución discreta de la función $$ G(t,\omega)=\sum_{i=1}^\infty P_i(\omega) I_{[Y_i(\omega),\infty)}(t) $$ es una realización de un Proceso de Dirichlet con la concentración del parámetro $c$ y centrada en la función de distribución de $F$.
La expectativa de este Proceso de Dirichlet es, simplemente,$F$, y esta puede ser la función de distribución de una variable aleatoria continua. Pero, si las variables aleatorias $X_1,\dots,X_n$ formulario de una muestra aleatoria a partir de este Proceso de Dirichlet, la parte posterior de la expectativa es la probabilidad a medida que pone positiva de masa en cada punto de la muestra.
Respecto a la pregunta original, se puede ver que la llanura de Dirichlet Proceso puede no ser adecuado para el modelo de algunos problemas de Bayesiana nonparametrics, como el problema de Bayesiana de la estimación de densidad, pero adecuado a las extensiones de la Dirichlet Proceso están disponibles para atender estos casos.
