La formulación poissoniana de la mecánica nos dice que para una función generadora $g(q,p,t)$ el soporte de Poisson de alguna función/variable $f(q,p,t)$ con la función generadora se corresponde con un cambio infinitesimal en $f$ a lo largo de la transformación o "movimiento" generado por $g$ .
$$ \delta f = \epsilon \left\ {f,g \right\ }$$
Un ejemplo de esto es la conservación del impulso debido a la invariabilidad bajo las traducciones infinitesimales. Para mostrar esto, tomemos $f$ para ser el Hamiltoniano y $g$ para ser $ \mathbf {p} \cdot\hat {n}$ donde $ \mathbf {p}$ es el impulso $p_x \hat {x}+p_y \hat {y}+p_z \hat {z}$ y $ \hat {n}$ es un vector unitario arbitrario. La transformación canónica generada por $ \mathbf {p} \cdot \hat {n}$ es una traducción infinitesimal a lo largo de la $ \hat {n}$ dirección de las variables del sistema con las que se evalúa el Hamiltoniano.
$$ \begin {align*} \epsilon\left\ {H, \mathbf {p} \cdot\hat {n} \right\ }&= \epsilon\left ( \sum_i \frac { \partial H}{ \partial q_i} \frac { \partial\ ,( \mathbf {p} \cdot\hat {n})}{ \partial p_i}- \frac { \partial H}{ \partial p_i} \frac { \partial\ ,( \mathbf {p} \cdot\hat {n})}{ \partial q_i} \right ) \\ &= \epsilon\left ( \sum_i \frac { \partial H}{ \partial q_i}( \hat {n})_i \right ) \\ &= \epsilon ( \nabla_q H) \cdot \hat {n} \\ & \\ & \implies \left\ {H, \mathbf {p} \cdot\hat {n} \right\ }=( \nabla_q H) \cdot \hat {n} \end {align*}$$
Ahora, si tomáramos un ángulo polar $ \theta $ sobre algún eje $ \hat {n}$ para ser una coordenada, el procedimiento anterior con $ \mathbf {l}$ el momento angular, en lugar de $ \mathbf {p}$ se traduciría entonces como una "traducción" infinitesimal de la $ \theta $ variable - es decir, una rotación sobre la $ \hat {n}$ eje. Un ejemplo de esto se da en Landau y Lifshitz, Goldstein, y muchos otros libros de texto de mecánica - la rotación de un vector constante $ \mathbf {c}$ sobre un eje específico.
$$ \left\ { \mathbf {c}, \mathbf {l} \cdot\hat {n} \right\ }= \hat {n} \times\mathbf {c}$$
En cuanto a la interpretación de los paréntesis de Poisson a través de las funciones de generación (que acabo de dar), puedo ver por qué esto sería cierto. El vector $ \mathbf {c}$ cambia en una cantidad $d \theta ( \hat {n} \times\mathbf {c})$ cuando se gira por un ángulo infinitesimal $d \theta $ sobre un eje $ \hat {n}$ y ese resultado puede ser alcanzado por una simple geometría analítica. Sin embargo, por la evaluación directa del soporte de Poisson, no puedo ver por qué esto no es cero (como $ \mathbf {c}$ es una constante). El operador de momento angular (función valorada por el vector en términos de variables espaciales de fase) viene dado por
$$ \begin {align*} \mathbf {l}&= \mathbf {r} \times\mathbf {p} \\ &=(yp_z-zp_y) \hat {x}+(zp_x-xp_z) \hat {y}+(xp_y-yp_x) \hat {z} \end {align*}$$
Nótese que esto, asumiendo un típico hamiltoniano clásico, completamente en términos de variables de fase espacial. Ahora, el paréntesis de Poisson de esto con un vector constante es
$$ \begin {align*} \left\ { \mathbf {c}, \mathbf {l} \cdot\hat {n} \right\ }&= \sum_i\left ( \frac { \partial \mathbf {c}}{ \partial q_i} \frac { \partial ( \mathbf {l} \cdot\hat {n})}{ \partial p_i}- \frac { \partial \mathbf {c}}{ \partial p_i} \frac { \partial ( \mathbf {l} \cdot\hat {n})}{ \partial q_i} \right ) \\ &=0\,\,\,\,( \mathbf {c} \textrm { doesn't depend on phase space variables)} \end {align*}$$
Por favor, ¿podría decirme cómo resolver esta paradoja?
P.D: Originalmente escribí esta pregunta muy brevemente porque pensé que alguien ciertamente sabría de lo que estoy hablando.
