Ayuda con convergencia en distribución

Question

$Y$ es una variable aleatoria con %#% $ #%

¿Hace $$M(t) = \frac{1}{(2-\exp(t))^s}.$$$\frac{Y-E(Y)}{\sqrt{\operatorname{Var}(Y)}}$$ %s tiende a infinito?

Dejo $ converge in distribution as $. ¿Diferenciar la MGF de $Z = \frac{Y-E(Y)}{\sqrt{\operatorname{Var}(Y)}}$ y que $Y$ tenemos $t = 0$$$E(Y) = s,$E(Y^2) = s ^ 2 +2s, $$$$$$ $ así Mgf de Z:\begin{align*}E(\exp(tz)) &= E\left(\exp\left(\frac{t(y-s)}{\sqrt{2s}}\right)\right)\\ &=E\left(\exp\left(\frac{ty}{\sqrt{2s}}\right)\exp\left(\frac{-ts}{\sqrt{2s}}\right)\right)\\ &=E\left(\exp\left(\frac{ty}{\sqrt{2s}}\right)\exp\left(\frac{-ts}{\sqrt{2s}}\right)\right)\\ &=\exp\left(\frac{-ts}{\sqrt{2s}}\right)\frac{1}{\left(2-\exp\left(\frac{t}{\sqrt{2s}}\right)\right)^s}. \end{align*} pero no estoy seguro de cómo proceder - parece que me tiende a $\operatorname{Var}(Y) = 2s.$?

Answer 1

Como usted ha determinado que: $$ M_Z(t) = \mathbb{E}(\exp(t, Z ) ) = \frac{\exp\left(-t \frac{s}{\sqrt{2}}\right)}{\left( 2 - \exp\left(\frac{t}{\sqrt{2}} \right) \right)^s} = \left( \frac{\exp\left(-t \frac{1}{\sqrt{2}}\right)}{ 2 - \exp\left(\frac{t}{\sqrt{2}} \right) } \right)^s $$ Con el fin de determinar un gran $s$ comportamiento, el uso de series de Taylor: $$ \frac{\exp\left(-t \frac{1}{\sqrt{2}}\right)}{ 2 - \exp\left(\frac{t}{\sqrt{2}} \right) } = \frac{1- \frac{t}{\sqrt{2}} + \frac{t^2}{4} + o\left(\frac{t^2}{s}\right)}{ 1- \frac{t}{\sqrt{2}} - \frac{t^2}{4} + o\left(\frac{t^2}{s}\right) } = 1 + \frac{t^2}{2} + o\left(\frac{t^2}{s}\right) $$ Así $$ M_Z(t) = \left( 1 + \frac{t^2}{2} + o\left(\frac{t^2}{s}\right) \right)^s $$ El gran $s$ límite ahora es fácil de encontrar: $$ \lim_{s\to \infty} M_Z(t) = \exp\left( \frac{t^2}{2} \right) $$ Esta es la mgf de la normal estándar de la variable, como se esperaba por la CLT.