¿Cómo probar que $2^{n+2}+3^{2n+1}$ es divisible por 7 usando inducción?

Question

Quiero demostrar que $2^{n+2}+3^{2n+1}$ es divisible por 7 mediante inducción. Mi primer paso es reemplazar $n$ $1$.

1. $2^{1+2}+3^{2(1)+1}$
2. $2^3+3^3$
3. $8+27$
4. $35 = 7\times 5$

El siguiente paso es asumir que $2^{n+2}+3^{2n+1}$ es divisible por 7. Y el último paso es demostrar que $2^{(n+1)+2}+3^{2(n+1)+1}$.

1. $2^{(n+1)+2}+3^{2(n+1)+1}$
2. $2^{n+3}+3^{2n+3}$
3. Quedé atrapado aquí.

¿Cómo puedo probar por medio de inducción?

Answer 1

$2^{(n+1)+2}+3^{2(n+1)+1}=2(2^{n+2}+3^{2n+1})+7(3^{2n+1})$

Answer 2

Intuitivamente $ $ la inducción paso surge por la aplicación de la Congruencia de los Productos de la Regla (ver más abajo)

$$ \begin{align}{\rm mod}\,\ 7\!:\qquad \color{#0a0}{3^2}\ \equiv&\,\ \ \color{#0a0}{2}\\[2pt] 3^{1+2n}\equiv&\,\ {-}2^{2+n}\qquad\ {\rm i.e.}\ \ P(n)\\[-4pt] \overset{\rm multiply}\Rightarrow\ \ 3^{1+2n}\,\color{#0a0}{3^2} \equiv&\,\ {-}2^{2+n}\, \color{#0a0}{2}\\[2pt] {\rm i.e.}\quad\, \ 3^{1+2(\color{#c00}{n+1})}\equiv&\,\ {-}2^{2+(\color{#c00}{n+1})}\ \ \ {\rm i.e.}\ \ P(\color{#c00}{n\!+\!1})\end{align}\ \qquad $$

Si eliminamos el idioma de congruencias sustituyendo en línea la siguiente prueba de la Congruencia del Producto Regla, entonces obtenemos exactamente el común de la prueba dado que en la mayoría de las respuestas. Incluso si congruencias son desconocidas, aún podemos imponer esta intuitiva aritmética de la estructura mediante el uso de la Regla del Producto en un equivalente divisbility forma, es decir,

$$\begin{align} {\rm mod}\,\ m\!:\, A\equiv a,\, B\equiv b&\ \ \,\Longrightarrow\,\ \ AB\equiv ab\qquad\text{Congruence Product Rule}\\[3pt] m\mid A-a,\ B-b&\,\Rightarrow\, m\mid AB-ab\qquad\text{Divisibility Product Rule}\\[4pt] {\bf Proof}\quad (A-a)B+a(B&-b)\, = AB-ab\end{align}$$

Así, el paso inductivo no necesitan ser sacados de un sombrero como por arte de magia. Más bien, ha intuitiva aritmética contenido como de la congruencia de la multiplicación. Ver aquí para más discusión.

Nota: escribí la congruencia de la prueba en la forma anterior (vs simple congruencia formas) con el fin de comprender mejor cómo las otras respuestas son precisamente equivalente a la aplicación de la Regla del Producto.

Answer 3

Sugerencia:

$$2^{(n+1)+2}+3^{2(n+1)+1}=2(2^{n+2})+(7+2)3^{2n+1}$$

Answer 4

Let $$f(n)=2^{n+2}+3^{2n+1}$$ so that $$f(n+1)=2^{n+3}+3^{2n+3}$$

Entonces

$$\begin{align} f(n+1)-f(n) &= 2^{n+3}+3^{2n+3}-2^{n+2}-3^{2n+1} \\ &= 2^{n+2} \left(2-1 \right)+3^{2n+1}\left(3^2 - 1 \right) \\ &= 2^{n+2} + 8\left(3^{2n+1}\right) \\ &= 2^{n+2} + 3^{2n+1} + 7\left(3^{2n+1}\right) \end {Alinee el} $$

Asumimos que el $2^{n+2} + 3^{2n+1} ~|~ 7$ y $7\left(3^{2n+1}\right)$ obviamente es divisble por 7. Así que hemos terminado.

Answer 5

Mira $\bmod 7$. Desde $2$ y $3^2$ son congruente $\bmod 7$ obtenemos:

$2^{n+2}+3^{2n+1}=2\cdot2^{n+1}+3^23^{2n-1}=2(2^{n+1}+3^{2n-1})$. lo del paréntesis es congruente a $0\bmod 7$ por la hipótesis inductiva.