El máximo de las variables aleatorias exponenciales es mayor que el máximo de las variables aleatorias normales casi con seguridad como $n$ tiende a infinito.

Question

Sea $X_1,X_2,\cdots,X_n$ sean variables aleatorias gaussianas iid con media $0$ y varianza $1$ . Sea $Y_1,Y_2,\cdots,Y_n$ sean variables aleatorias exponenciales iid con media $1$ . Demostrar que $$\lim_{n\to\infty}P\left(\max{(Y_1,Y_2,\cdots,Y_n)}\ge \max{(X_1,X_2,\cdots,X_n)}\right)=1$$

Dejo $W_n=\max{(X_1,X_2,\cdots,X_n)}$ y $Z_n=\max{(Y_1,Y_2,\cdots,Y_n)}$ .como $X_i$ y $Y_i$ son iid, es fácil obtener la distribución de $W$ y $Z$ como $F_W(w)=\left(F_X(w)\right)^n$ y $F_Z(z)=\left(F_Y(z)\right)^n$ . Calculé $$P(Z_n\ge W_n)=\int_{-\infty}^{\infty}F_W(w)f_Z(w)dw=\int_0^{\infty}\left(\Phi(w)\right)^nn(1-e^{-w})^{n-1}e^{-w}dw$$ donde $\Phi$ es la FDA de la distribución normal estándar. No estoy seguro de cómo estimar la integral resultante como $n\to\infty$ aunque he podido comprobar que converge a 1 mediante cálculo numérico.

Además, creo que debería haber una forma más inteligente y elegante de solucionar este problema, pero no sé cómo. Gracias de antemano por cualquier sugerencia.

Answer 1

La pregunta no explica si $(X_n)$ debe suponerse independiente de $(Y_n)$ y, de hecho, esta hipótesis no es necesaria para obtener el resultado deseado.

Para ver por qué, observe que para cada $x$ , $$P(\max(Y_1,\ldots,Y_n)<\max(X_1,\ldots,X_n))\leqslant P(\max(X_1,\ldots,X_n)>x)+P(\max(Y_1,\ldots,Y_n)<x)$$ con $$P(\max(X_1,\ldots,X_n)>x)=1-(1-P(X_1>x))^n$$ y $$P(\max(Y_1,\ldots,Y_n)<x)=P(Y_1<x)^n$$ Por lo tanto, si se puede elegir alguna secuencia $(x_n)$ tales que las convergencias $$(1-P(X_1>x_n))^n\to1\qquad\&\qquad P(Y_1<x_n)^n\to0$$ sostener simultáneamente, hemos terminado. Para ello, recordemos que, para cada $x>1$ , $$P(X_1>x)\leqslant e^{-x^2/2}\qquad\&\qquad P(Y_1>x)=e^{-x}$$ así, $$(1-P(X_1>x_n))^n\geqslant(1-e^{-x_n^2/2})^n\qquad\&\qquad P(Y_1<x_n)^n=(1-e^{-x_n})^n$$ por lo que las dos convergencias que necesitamos se realizan simultáneamente en cuanto $x_n\to\infty$ con $$ne^{-x_n^2/2}\to0\qquad\&\qquad ne^{-x_n}\to\infty$$ es decir, $$e^{x_n}\ll n\ll e^{x_n^2/2}$$ o, lo que es lo mismo, $$x_n^2-2\log n\to\infty\qquad\&\qquad x_n-\log n\to-\infty$$ lo que ocurre, por ejemplo, si $$x_n\sim\tfrac12\log n$$ Así, como se desee, $$P(\max(Y_1,\ldots,Y_n)<\max(X_1,\ldots,X_n))\to0$$