$H^1(G,A)$ es asesinado por $|G|$ : Prueba en el nivel de los cociclos

Question

Sea $G$ sea un grupo finito y $A$ a $G$ -Módulo. Es bien sabido que $H^q(G,A)$ es asesinado por $|G|$ para todos $q \geq 1$ . Esto se suele demostrar mediante Restricción-Corestricción (aplicada con el subgrupo trivial).

¿Hay alguna forma de demostrarlo para $q=1$ sin utilizar esta maquinaria? Concretamente, ¿hay algún cálculo que se pueda hacer a nivel de cociclos que dé este resultado para $H^1(G,A)$ ?

Answer 1

Sí, si $c(gh)=c(g)+g\cdot c(h)$ para todos $g,h \in G$ entonces $|G|c(g)= \sum_{h \in G} c(g) = \sum_{h \in G} c(gh)-g \cdot c(h) = a - g \cdot a$ donde $a = \sum_{h \in G} c(h)$ .

Answer 2

Si no recuerdo mal, la prueba que aparece en mi esquema de teoría de grupos es la siguiente:

Sea f una derivación con valores en $A$ . Tenemos que demostrar que $|G|f$ es una derivación interna, es decir, viene dada por la conjugación de la derivación trivial con algún elemento $b \in A $ (conjugación en $A \rtimes G$ ).

Sea b $\sum_{g \in G}f(g)$ y podemos comprobar que $|G|f$ es igual a $b0b^{-1}$ donde $0$ denota la derivación trivial (y de nuevo quiero pensar en la conjugación en $A \rtimes G$ ).

Soy consciente de que la notación es algo difícil de leer porque a veces identifico $f(g) \in A$ con $((g,f(g)) \in A \rtimes G$ . No obstante, la prueba básica debería ser válida.