Ecuación Diferencial de Función Hipergeométrica

Question

¿Hay alguna manera obvia de ver que la función hipergeométrica$$_2F_1(a,b;c:z) = \sum_{i=0}^\infty \tfrac{(a)_n(b)_n}{(c)_n}\tfrac{z^n}{n!}$ $ debe satisfacer la ecuación diferencial

ps

No puedo conseguir que funcione diferenciando directamente y me está volviendo loco - se puede hacer directamente o requiere una buena identidad? Gracias

Answer 1

Por favor, siéntase libre de simplificar!

Podemos aplicar el `Método de los Coeficientes";{http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.231.6616&rep=rep1&type=pdf}{Método de los Coeficientes} .

Estamos buscando una recursividad entre los términos; y, a continuación, utilizando la Método de los Coeficientes de traducirlo en una ecuación diferencial.

Algunos fragmentos de el Método de los Coeficientes de

$[x^{n}]x^{k}f(x)=[x^{n-k}]f(t)$ ;

$[x^{n}]\frac{f(x)}{x^{k}}=[x^{n+k}]f(x)$

$[x^{n}]n\cdot f(x)=[x^{n-1}]f'(x)=[x^{n}]f'(x)\cdot x$

Ahora escribir la relación entre los sucesivos coeficientes de de

$_{2}F_{1}(a,b;c;x)={\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}}\frac{\left(a\right)_{n}\left(b\right)_{n}}{\left(c\right)_{n}}\frac{x^{n}}{n!}$

$[x^{n+1}]f(x)=\frac{\left(a+n\right)\cdot\left(b+n\right)}{\left(c+n\right)}\cdot\frac{n!}{\left(n+1\right)!}\cdot[x^{n}]f(x)=\frac{\left(a+n\right)\cdot\left(b+n\right)}{\left(c+1\right)}\cdot\frac{1}{\left(n+1\right)}\cdot[x^{n}]f(x)$

$\left(n+1\right)\cdot\left(c+n\right)\cdot[x^{n+1}]f(x)-\left(a+n\right)\cdot\left(b+n\right)\cdot[x^{n}]f(x)=0$

$\left(c+n\right)\cdot[x^{n}]f'(x)-\left(a+n\right)\cdot b\cdot[x^{n}]f(x)-(a+n)\cdot[x^{n}]x\cdot f'(x)=0$

$[x^{n}]x\cdot f''(x)+c\cdot[x^{n}]f'(x)-b\cdot[x^{n}]x\cdot f'(x)-a\cdot b[x^{n}]f(x)-a\cdot[x^{n}]x\cdot f'(x)-[x^{n}]x^{2}\cdot f''(x)-[x^{n}]f'(x)=0$

$[x^{n}]\left(x-x^{2}\right)\cdot f''(x)+\left(c-\left(b+a+1\right)\cdot x\right)\cdot f'(x)-a\cdot b\cdot f(x)=0$

QED