¿Cómo puedo encontrar x?

Question

¿Cómo puedo encontrar$(1+i)^{100}$ sin expandir$(1+i)$ 100 veces?

¿Hay una manera más rápida de hacer esto?

La sugerencia fue encontrar el módulo y el argumento de$1+i$ que tengo como$\sqrt{2}$ y$\pi/4$, pero no estoy seguro de qué hacer desde aquí.

Answer 1

ps

Answer 2

Sugerencia:$$(1+i)=\sqrt{2}e^{\frac{i\pi}{4}}$ $

Answer 3

Insinuación:

$1+i=\sqrt{2} e^{i\pi/4}$

Por lo tanto, $(1+i)^{100}= [\sqrt{2} e^{i\pi/4}]^{100}=\sqrt{2}^{100}e^{i100\pi/4}=[{{2^{0.5}}}]^{100}e^{i(24\pi+\pi)}=2^{50}e^{i\pi}=2^{50}(-1)=\boxed{-2^{50}}$

Tu trabajo: ¿cómo conseguimos$1+i=\sqrt{2} e^{i\pi/4}$?

Para hacer este tipo de problema en general, mira la forma polar de un número complejo:

Http://tutorial.math.lamar.edu/Extras/ComplexPrimer/Forms.aspx

Answer 4

Puede usar la fórmula de De Moivre ,$1+i=\sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4})$, así que$(1+i)^{100}=(\sqrt{2})^{100}(\cos 25\pi+i \sin 25\pi)$

Answer 5

La clave (al menos a) es que las potencias son periódicas (argumento-sabio). Una forma de hacer La multiplicación compleja es hacerlo geométricamente, se multiplican dos números cuadrando sus respectivos módulos y añadiendo sus respectivos argumentos. Observe que$1+i$ se encuentra en la línea$y=x$, de modo que su argumento sea$\pi/4$. ¿Qué sucede si vas alrededor$\frac {2k\pi}{\pi/4}$ times? La clave es que$\pi/4$ es "proporcional" a$2\pi$, lo que significa que divide exactamente (un número entero de veces) en$2 \pi$.