Probar un anillo es Noetherian cuando todos los ideales máximos son generados por idempotents

Question

Deje $R$ ser un anillo conmutativo con unidad tal que todos los máximos ideales de la forma $(r)$ donde$r\in R$$r^2=r$. Quiero demostrar que $R$ es Noetherian.

Sé que si todo el primer (o principal) ideales en $R$ son finitely generado, entonces, $R$ es Noetherian, así que mi plan era mostrar que todos los primer o principal ideales en $R$ son de máxima y por lo tanto de la forma anterior (finitely generado), pero me parece que falta exactamente lo que debo hacer para demostrar que.
Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Sea$\mathfrak m = (r)$ maximal. Nota$r^2 = r$ se puede escribir como$r(1 - r) = 0$ así que cada primo$\mathfrak p$ contiene$r$ o$1 - r$. Como$\mathfrak m$ no contiene$1 - r$ esto significa que cada primo$\mathfrak p$ equivale a$\mathfrak m$ o no está contenido en$\mathfrak m$. En otras palabras, todos los primos son máximos porque deben ser iguales al ideal máximo que los contiene.

Los ideales máximos son finitamente generados por hipótesis.