¿Cómo es

Question

Estoy aprendiendo una Progresión Aritmética. Hay un ejemplo en mi libro que yo no soy capaz de entender a partir de ayer. El ejemplo es:

Si la suma de los $n$ términos de una secuencia está dada por $S_n =n^2+2n+3$, encontramos a $t_n$ y por lo tanto, encontrar $t_1$$t_2$.

Solución:

$S_n =(n^2+2n+3)$ $S_{n-1} = (n-1)^2 + 2(n-1)+3 = n^2+2$.

Por lo tanto, $t_n = (S_n - S_{n-1}) = (n^2 +2n + 3) - (n^2 + 2) = (2n+1)$.

En consecuencia, $t_1 = 3$$t_2 =5$.

No estoy recibiendo la primera línea de la solución. Para ser honesto, yo no soy capaz de entender la pregunta. Por favor, ayudar. Lo siento si he preguntado algo tonto (como estoy bastante de la semana en matemáticas) y también por mi mala inglés.

Gracias de antemano!

Answer 1

Primero solo reemplace$n$ por$n-1$ luego expanda$S_{n-1} = (n-1)^2 + 2(n-1) + 3$ para obtener

ps

Entonces$$\require{cancel} S_{n-1} = n^2 - \cancel{2n} + 1 + \cancel{2n} - 2 + 3 = n^2 + 2$ es una consecuencia.

Editar:

Si considera una secuencia$t_n = S_n -S_{n-1}$ entonces una suma de los primeros$(t_n)_{n \in \mathbb N}$ términos es representada por

ps

Siempre que se le dé la suma$n$, se le pedirá que encuentre los términos de su secuencia$$S_n = t_1 + t_2 + \ldots + t_n$, que se deduce del álgebra anterior.

Answer 2

La cuestión es preguntar esto:

Tenemos algunos secuencia $t_n$ que se parece a esto:

$$t_1,t_2,t_3,\dots$$

Y no diremos lo $t_n$ es. Pero, podemos decir que nos llame la suma de los primeros a $n$ términos de la secuencia de $S_n$, por lo que

$$S_1=t_1\\ S_2=t_1+t_2\\ S_3=t_1+t_2+t_3\\ \vdots$$

Y también podemos decir que, por cada $n$, el valor de $S_n$ es

$$S_n=n^2+2n+3$$

Ahora, puede usted averiguar lo $t_n$ es?

La respuesta es sí, porque $$S_n - S_{n-1} = (t_1+t_2+\cdots+t_{n-1}+ t_n) - (t_1+t_2+\cdots+t_{n-1})$$

lo que significa que $S_n- S_{n-1} = t_n$. Ahora, desde la $S_n = n^2 + 2n + 3$$S_{n-1} = (n-1)^2 + 2(n-1) + 3$, el cálculo de $t_n$ es fácil.

Answer 3

Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org

Restando, obtenemos$$S_n=t_1+t_2+t_3+...+t_{n-2}+t_{n-1}+t_n$

Así,$$S_{n-1}=t_1+t_2+t_3+...+t_{n-2}+t_{n-1}$

Ahora, solo ponemos n = 1 y n = 2

Answer 4

Lo que se perdió por el libro de la solución es que la suma no funciona.

Con el fin de corregir eso, necesitamos que el primer término - si es (como implícita) $t_1$ o potencialmente $t_0$ - a ser diferentes a partir de la fórmula que podemos utilizar para el resto de condiciones. Para el primer término, no es $S_{n-1}$, y debemos tener la $t_n$=$S_n$ (para el primer término sólo).

Así que, asumiendo que $t_1$ es el primer término y no es $t_0$, obtenemos que $t_1 = 1^2 + 2\times 1 +3 = 6$.

O si tenemos un $t_0$ que es el primer término, a continuación, $t_0=S_0=3$