¿Existe una interpretación geométrica de la integral del producto?

Question

Riemann, "de manera Integral" es a grandes rasgos el límite de las sumas de este tipo \begin{equation} \sum_if(x_i)\Delta x_i \end{equation} Ahora, si reemplazamos la suma con un producto y la multiplicación por $\Delta x_i$ con exponenciación, nos lleva a la idea de un "producto" de la integral: \begin{equation} \prod_if(x_i)^{\Delta x_i} \end{equation} La relación con la habitual integral y el "producto" integral es la siguiente: \begin{equation} \prod f(x)^{dx}=\ e^{\int \ln f(x) dx} \end{equation} Mi pregunta es: ¿hay un geométrica (o de la medida-teórico) la interpretación de que el producto integral? Como todos sabemos, la costumbre integral (en una variable) es el firmado el área bajo la gráfica de $f$.

Answer 1

Estoy cierto que no están familiarizados con los productos integrales, pero creo que la interpretación geométrica de la ruta es en vano.

Estoy tratando de plasmar esto en términos de unidades: si $f$ $x$ se miden en pies, la suma de Riemann nos da lo que nos había esperanza para nuestra interpretación-ft×(ft-ft)->ft^2

Movimiento para el producto integral, no puedo pensar en nada geométrica donde el exponente tiene unidades (especialmente cuando el comportamiento del final de los exponentes es ser infinitesimalmente pequeño, tomando NNNth raíces). Para mí, los exponentes de la geometría están relacionadas con las áreas/dimensiones superiores de los volúmenes, pero en las fórmulas, los exponentes son unidad libre.

Answer 2

En realidad, el área bajo la gráfica se define por la integral no la otra manera alrededor.

Mediante el intercambio de las operaciones arbitrariamente uno no puede esperar que los viejos conceptos del mapa a algo que todavía es significativa. Esta es una generalización que puede aplicarse también con la diferenciación, cómo cada vez las nuevas construcciones no se asignan a un significativo familiarizados.

Considere la posibilidad de que la más intuitiva que la generalización de la integración y la diferenciación en virtud de fracciones de cálculo no tienen una interpretación geométrica para los no valores enteros (la interpretación geométrica es una pregunta abierta).

Pruebe a cambiar la métrica del espacio y ver de qué manera modifica las definiciones de integración o diferenciación.