$p$ - finalización adic de enteros

Question

Estoy tratando de hacer el siguiente ejercicio:

Deje $p$ ser una de las primeras y para $n\geq 1$ deje $\alpha_n :\mathbb Z/p \mathbb Z \to \mathbb Z/p^n \mathbb Z$ ser la inyección de abelian grupos dado por $1 \mapsto p^{n−1}$. Considerar la suma directa de $\alpha : A \to B$ de estos mapas donde $A$ es un contable suma directa de copias de $\mathbb Z/p \mathbb Z$ $B$ es la suma directa de los grupos de $\mathbb Z/p^n \mathbb Z$. Muestran que el $p$-ádico de la finalización de $A$ es sólo $A$, pero que a la finalización de $A$ para la topología inducida a partir de la $p$-ádico la topología en $B$ es el producto directo de la $\mathbb Z/p \mathbb Z$. Deducir que $p$-ádico de finalización no es un derecho functor exacto en la categoría de todos los $\mathbb Z$-módulos.

Al principio pensé $A$ fue solo la normal enteros, pero no porque, por ejemplo, para $p=2$, $-1 = 01111\dots$ no está en el espacio. La suma directa son todas las cosas con sólo un número finito distinto de cero, por ejemplo, la secuencia de $a_0 = 10000\dots a_1 = 110000\dots, a_2 = 111000\dots$ es una secuencia en $A$, con un límite no en $A$.

Supongo que me estoy confundido acerca de lo "$p$-ádico de terminación" significa: supuse que eso significaba que puedo tomar las clases de equivalencia de Cauchy (secuencias de Cauchy con respecto a $|\cdot|_p$), donde dos secuencias son equivalentes si su diferencia tiende a cero. Pero si eso era lo "$p$-ádico de finalización" que realmente significaba, a continuación, la secuencia de $a_k$ me dio más arriba, sería de Cauchy y no tienen un límite en $A$ que es un ejemplo contrario a lo que el ejercicio me pide que le muestre.

Alguien que me explique lo "$p$-ádico de terminación" significa? Gracias.

Editar

Estoy chocando esta pregunta porque la respuesta está de vacaciones y todavía tengo un montón de preguntas. Gracias por tu ayuda.

Answer 1

El $p$-ádico finalización debe decir "completa con respecto al ideal generado por a $p$". Supongo que la discusión se limita a los grupos, por lo que podría en lugar de pensar acerca de cómo completar con respecto al subgrupo de filtración $(p^nG)$. Me gustaría olvidarse de la métrica por el momento.

Para $A$ tenemos $pA = 0$, por lo que para completar estamos tomando el límite inversa \[ Un \leftarrow Un \leftarrow \cdots \] en la cual todos los mapas de transición son las señas de identidad. Claramente este es isomorfo a $A$.

Ahora queremos ver qué pasa si completamos $A$ con respecto a la filtración $(C_n) = (p^nB \cap A)$. Así que lo que debe hacer es escribir $p^nB$$\alpha(A)$, y, a continuación, calcular estos $C_n$. Ésta debe salir de ese $A/C_n = \bigoplus_{i = 1}^n \mathbb Z/p\mathbb Z$, y que la transición mapa de $A/C_{n + 1} \to A/C_n$ se olvida de la $(n + 1)$-ésimo componente. ¿El resultado plausible ahora?

Answer 2

Pensé que sería un buen ejercicio para publicar una respuesta de mi propia:

(yo) queremos saber la finalización de la topológico anillo de $A = \bigoplus_{n \in \mathbb N} \mathbb Z / p \mathbb Z$ con respecto al $p$-ádico de la topología, es decir, la topología inducida por los barrios de cero de la forma$A_n = p^n A$, de modo que $A=A_0 \supset A_1 \supset A_2\supset \dots$.

A partir del capítulo 10 de Atiyah-MacDonald sabemos que ésta es una topológico Abelian grupo con una contables barrio de base de cero tal que $A_n \supset A_{n+1}$, la conclusión es isomorfo al límite inversa de la inversa de sistema de $X_n = A/A_n$ y los mapas de transición $f_n : A/A_n \to A/A_{n-1}$, $(x \mod p^{n}) \mapsto (x \mod p^{n-1})$. Pero desde $pA = 0$ obtenemos $X_n = A$$f_n = id_A$. Ahora el límite inversa son secuencias de $\vec{a} \in \bigoplus_n A/A_n = \bigoplus_n A$ tal que $id(a_n) = a_{n-1}$, es decir, la constante de secuencias. Ahora claramente, $\varprojlim_n A \cong A$ a través del mapa de $(a,a,a, \dots ) \mapsto a$.

---

(ii) a continuación nos gustaría para el cálculo de la finalización de $A$ con respecto a la topología inducida por la $p$-ádico la topología en $B = \bigoplus_n \mathbb Z / p^n \mathbb Z$. El mapa de $\alpha : A \to B$ es la inclusión de un mapa para que un conjunto $U$ es un barrio en $A$ si y sólo si $\alpha^{-1}(V) = V \cap A = U$ $V$ abierta en $B$. Abierto pone en $B$ son de la forma $p^k B$. Desde $B = \bigoplus_n \mathbb Z / p^n \mathbb Z$, $p^k B = \bigoplus_{n=0}^{\infty} p^k \mathbb Z / p^n \mathbb Z$ donde por $n \leq k$ el componente es cero. Podemos calcular la inversa de la imagen $\alpha^{-1}(p^kB)$ como sigue: vaya a $(A)_n = \mathbb Z / p \mathbb Z$ $n$- ésimo componente de $A$. Para el $n$-ésimo componente de $p^k B$ tenemos

$$ (p^kB)_n = \begin{cases} 0 & n \leq k \\ p^k \mathbb Z / p^n \mathbb Z & n > k\\ \end{casos} $$

Tenemos $\alpha(A)_n = \alpha_n(\mathbb Z / p \mathbb Z) = p^{n-1} \mathbb Z / p^n \mathbb Z$, de modo que $$ \alpha^{-1}(p^k B) = \begin{cases} 0 & n \leq k \hspace{0.2cm} (\text{since } \alpha \text{ is injective}) \\ \mathbb Z / p \mathbb Z & n > k \hspace{0.2cm} (\text{since } \mathrm{im}(\alpha ) = p^{n-1} \mathbb Z / p^n \mathbb Z \subset p^{k} \mathbb Z / p^n \mathbb Z)\\ \end{casos}$$

Por lo tanto abrir establece en esta topología en $A$ parecerse a $O_k = 0 \oplus \dots \oplus 0 \oplus \mathbb Z / p \mathbb Z \oplus \mathbb Z / p \mathbb Z \dots $ donde la primera $k$ entradas son cero.

Para nuestro inversa sistema esto nos da $X_n = A / O_k = \mathbb Z / p \mathbb Z \oplus \dots \oplus \mathbb Z / p \mathbb Z \oplus 0 \oplus \dots $ donde la primera $k$ las entradas no son cero. Para la transición de los mapas de $t_n: X_n \to X_{n-1}$ esto significa $(x_1, x_2, \dots,x_{k-1}, x_k, 0 , 0 , \dots) \mapsto (x_1, x_2, \dots,x_{k-1}, 0 , 0 , \dots)$.

Para el límite inversa de este sistema, esto significa que es todas las secuencias con $x_n \in X_n$, lo que nos da $\varprojlim_n X_n = \prod_n X_n = \prod_n \mathbb Z / p \mathbb Z$.

---

Ahora a la conclusión de que la $\varprojlim_n$ no es un derecho-functor exacto en $\mathbb Z - \mathrm{\mathbf{Mod}}$, vamos a $A_k = \alpha^{-1}(p^k B)$. A continuación, la secuencia siguiente es exacta: $$ 0 \to A_k \hookrightarrow A \xrightarrow{\pi_k} A/A_k \to 0$$

Pero para el límite inversa obtenemos $$ 0 \to 0 \hookrightarrow A = \bigoplus_n \mathbb Z / p \mathbb Z \xrightarrow{\pi} \prod_n \mathbb Z / p \mathbb Z $$

donde $\pi$ no puede ser surjective ya que es un grupo de homomorphism asignación de cero en el $n$-ésima componente a cero.