¿Notación incorrecta en matemáticas?

Question

¿La matemática tiene una notación / sintaxis incorrecta? No me refiero a escribir una notación desalineada (google), pero cuando tomas algo como un número a poderes a poderes a poderes,$${{2^2}^2}^3$ $ (me dijeron que esto es una notación incorrecta por un maestro). ¿Es realmente incorrecto, o sólo necesita ser simplificado con paréntesis? ¿La gente escribe matemáticas como ésta?

Una expresión radical con la raíz siendo una expresión radical? ps

Answer 1

Su profesor está equivocado. Hay una bien establecida y de la convención universal sobre el significado de una expresión como $$2^{2^{2^3}}$$it is always understood to mean $$2^{\left(2^\left(2^3\right)\right)} =2^{2^8} = 2^{256}$$ People can and do write expressions like these. For example this paper, "Analog of the Skewes Number for Twin Primes", by Marek Wolf, contains the expressions $$10^{10^{10^{10^3}}}\qquad\text{and}\qquad 10^{10^{529.7}}$$on the first page, with no further explanation. Similarly "Some Rapidly Growing Functions" by Craig Smoryński has $$10^{10^{10^{34}}} < e^{e^{e^{e^{4.369}}}}$$ y expresiones similares. (He elegido estos dos trabajos arbitrariamente; ellos fueron los primeros dos hits en Google académico "Skewes " Número".)

Hay una buena razón por la convención acerca de lo $a^{b^c}$ significa: $a^{b^c}$ podría ser entendido como $a^\left({b^c}\right)$ o $\left(a^b\right)^c$. Pero si se entiende como $\left(a^b\right)^c$, uno nunca tendría que escribir $a^{b^c}$, ya que sería igual a $a^{bc}$. Por lo que siempre es entendido como $a^\left({b^c}\right)$.

Nadie escribe $$\sqrt[\sqrt{2^3}]2$$ a pesar de que su significado sea claro. En parte esto es debido a que habría sido difícil de componer con la antigua tipo de metal, por lo que hay una tradición de expresar esto de manera diferente. Y en parte es porque se ve mal.

Puesto que, por definición, $$\sqrt[a]b = b^{1/a},$$ one would almost always write something like $$(2^{1/2})^{1/2^{3/2}}$$ instead, at which point it would become clear that the expression could be simplified to $$2^{(1/2)(1/2^{3/2})} = 2^{1/2^{5/2}} = 2^{2^{-5/2}}.$$ Buena notación permite y alienta este tipo de simplificación; mala notación oscurece y la impide.

Answer 2

Las torres de exponentes han sido estándar durante edades. Cajori, en su libro Historia de las anotaciones matemáticas , §313 , cuenta la historia. Reproduce una imagen de un libro de Waring publicado en 1785:

Answer 3

$a^{\large b^{\Large c}}$ Significa$a^{\large(b^{\Large c}\large)}$. Esto no está en disputa.

Tenga en cuenta que$\left(a^{\large b}\right)^{\large c}=a^{\large bc}$, por lo que no habría ninguna razón para que esto signifique esto.

Answer 4

@ Git Gud Creo que estoy empezando a ver el problema; La exponenciación es asociativa derecha. Tal vez una notación más sensata (para$a^{b^c}$) sería$${}^{{}^c} {}^b a$ $

Answer 5

La primera cosa que usted necesita es darse cuenta de que la matemática no tiene anotaciones por sí mismo, es la gente que utilizar la notación para representar ideas.

Habiendo dicho esto, algunas notaciones son incorrectas, sí.

Su ejemplo ${{2^2}^2}^3$ es uno de esos casos. Consideremos una versión más simple: ${a^b}^c$. Esto se puede leer de dos maneras diferentes, a saber: ${(a^b)^c}$ o $a^{(b^c)}$. Usted puede encontrar ejemplos en los que los dos símbolos no coinciden y, por lo tanto, la notación es ambiguo (o incorrecta, si prefiere).

Otro ejemplo de ambigüedad notación es $2+ 3\div 5$, por la misma razón: associativty falla, por lo tanto no está permitido el uso de la concatenación de los símbolos $2,+,3,\div$ sin paréntesis.

Como para $\sqrt[\large \sqrt{2^3}]{2}$, no hay nada de malo con ella, porque, por definición, $\sqrt[\large \sqrt{2^3}]{2}=\sqrt 2^{\left(1/\sqrt{2^3}\right)}$ y el lado derecho es bien definido.

Sabias que la gente se pegue en suficiente paréntesis para hacer que sea imposible para cualquier persona a confundir el significado - Gerry Myerson.

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