Deje $\mathbf F$ ser un campo de característica principal $p$. Se sabe que el Frobenius mapa de $c\phi=c^p~~\forall c\in\mathbf F$ es un endomorfismo de $\mathbf F$. Por otra parte, dado que la única ideales de $\mathbf F$$\{0\}$$\mathbf F$, sabemos que $\ker(\phi)=\{0\}$. Esto implica que $\phi$ es inyectiva. Se sabe que $\phi$ no es surjective en general. Sin embargo, si tenemos en cuenta el siguiente argumento de abajo, a mí me parece que $\phi$ debe ser un automorphism (es decir, un bijective endomorfismo).
"Pretendemos que $\mathbf F/\{0\}\cong\mathbf F$. Considerar la homomorphism $\theta:\mathbf F/\{0\}\rightarrow\mathbf F$$(\{0\}+r)\theta=r$, donde $r\in\mathbf F$. Entonces es fácil mostrar que es a la vez inyectiva y surjective; y así nuestro reclamo tiene. Sin embargo, también sabemos por el Primer Anillo Teorema de Isomorfismo que $\mathbf F/\ker(\phi)\cong \text{im}(\phi)$. Así llegamos a la conclusión de que $\text{im}(\phi)\cong\mathbf F$. Pero $\text{im}(\phi)\subseteq\mathbf F$, por lo que, necesariamente,$\text{im}(\phi)=\mathbf F$. Por lo tanto, $\phi$ es un automorphism de $\mathbf F$."
Podría alguien decirme dónde el error radica?
