Mostrar que una función está en$L^1$

Question

Necesito probar la siguiente sentencia o encontrar un contraejemplo: Deja$u\in L^1\cap C^2$ with$u''\in L^1$. Entonces $u'\in L^1$.

Desafortunadamente, no tengo ni idea de cómo probar o refutarlo, ya que$|\bullet|$ en la definición de$L^1$ me está dando grandes problemas. Encontré contraejemplos si$u\notin L^1$ o$u''\notin L^1$, pero ninguno de ellos podría generalizarse a un ejemplo que satisface todas las condiciones.

Answer 1

Es útil recordar la siguiente lema:

Si $f$ es dos veces derivable la función en $I=[a,b]$ y $$M_0=\sup_{x\in I}|f(x)|,\quad M_1=\sup_{x\in I}|f'(x)|,\quad M_2=\sup_{x\in I} |f''(x)|,$$ then $M_1^2\leq 4M_0 M_2$.

Es bien conocido el ejercicio de bebé Rudin: usted puede encontrar una prueba de ello aquí.

Por el Cauchy-Schwarz desigualdad, se obtiene:

$$\begin{eqnarray*} \int_{-M}^{M}|u'(t)|\,dt &\leq& \sum_{k=0}^{N-1}\sup_{t\in I_k=\left[-M+k\frac{2M}{N},-M+(k+1)\frac{2M}{N}\right]}|u'(t)|\cdot\mu(I_k)\\&\leq& 2\sum_{k=0}^{N-1}\sqrt{\mu(I_k)\sup_{t\in I_k}|u(t)|\cdot \sup_{t\in I_k}|u''(t)|\mu(I_k)}\\&\leq&2\sqrt{\sum_{k=0}^{N-1}\sup_{t\in I_k}|u(t)|\mu(I_k)\cdot \sum_{k=0}^{N-1}\sup_{t\in I_k}|u''(t)|\mu(I_k)},\end{eqnarray*} $$ así que, dejando $N\to +\infty$, tenemos que el $L^1$-norma de $u'(t)$ $[-M,M]$ está delimitado por dos veces la media geométrica de la $L^1$-normas de $u(t)$ $u''(t)$ en el mismo intervalo de tiempo. Esto demuestra la reclamación.