Desigualdad de cuatro variables

Question

Supongamos que$a,b,c,d$ son números reales mayores que$1$. Prueba que$$abc+abd+acd+bcd-3abcd<1.$ $

Answer 1

Vamos$a=1+x$,$ b=1+y$,$ c=1+z$ y$d=1+w$. Entonces $abc+acd+abd+bcd-3abcd=1-(xy+xz+xw+yz+yw+zw)-2(xyz+xzw+xyw+yzw)-3xyzw$

Answer 2

La desigualdad se cumple porque \begin{align*} &4\times\left[\,3abcd-(abc+abd+acd+bcd)+1\,\right]\\ \\ =&2(a-1)(b-1)(c-1)(d-1)\\ \\ &+(a+1)(b+1)(c-1)(d-1)+(a+1)(b-1)(c+1)(d-1)\\ &+(a+1)(b-1)(c-1)(d+1)+(a-1)(b+1)(c+1)(d-1)\\ &+(a-1)(b+1)(c-1)(d+1)+(a-1)(b-1)(c+1)(d+1)\\ \\ &+(a+1)(b-1)(c-1)(d-1)\\ &+(a-1)(b+1)(c-1)(d-1)\\ &+(a-1)(b-1)(c+1)(d-1)\\ &+(a-1)(b-1)(c-1)(d+1). \end {align *}