Integrando$\ln x$ por partes

Question

Se me pide que me integre por partes$\int \ln(x) dx$. Pero estoy en una pérdida no se supone que hay dos funciones en la integral para que pueda integrarse por partes?

Answer 1

Sugerencia : Escriba$\log(x)$ as$1 \cdot \log(x)$ y utilice la integración por partes.

Answer 2

$$\int \ln x \, dx= \int 1\cdot \ln x\, dx= x\ln x- \int x\cdot \frac{1}{x}\, dx=x\ln x-\int \,dx = x\ln x-x+C,$ $ Donde$C$ es una constante.

Answer 3

$$ \int \ln x\,dx = \underbrace{\int u\,dx = ux - \int x\,du}_{\text{integración por partes}} = x\ln x \int x\,\frac{dx}{x}. $$ Ahora cancelar la $x$ desde el numerador y el denominador e ir de allí.

(He visto probablemente al menos un par de docenas de estudiantes no logran darse cuenta de que la cancelación se puede hacer allí. Se preguntan acerca de cosas tales como si se debe integrar la $x$ e las $dx/x$ por separado y luego se multiplica.)

El arco tangente de la función se realiza de la misma manera: $$ \begin{align} \int\arctan x\,dx & = \underbrace{\int u\,dx = ux - \int x\,du}_{\text{integration by parts}} = x\arctan x - \int x\, \frac{dx}{1+x^2} \\[8pt] & = x\arctan x - \int\frac{1}{1+x^2} \cdot\frac12\cdot \Big(2x\,dx\Big) \\[8pt] & = x\arctan x - \frac12\int\frac1w\,dw \\[8pt] & = x\arctan x-\frac12\ln |w| + C \\[8pt] & = x\arctan x - \frac12\ln(1+x^2)+C. \end{align} $$

Answer 4

Sólo un buen punto: Dondequiera que haya$$\int p(x)\ln(x)dx$$ in which $ p (x)$ is an integrable function; you can use the integration by parts as follows: $$u=\ln(x),~~dv=p(x)dx$$ such that $$\int udv=uv-\int vdu$ $