Cómo probar $\frac{n^n}{3n!}<\frac{e^n}{2}-\sum_{k=0}^{n-1}\frac{n^k}{k!}<\frac{n^n}{2n!}$

Question

Me encontré con este problema:

probar:

$\displaystyle \frac{n^n}{3n!}<\frac{e^n}{2}-\sum_{k=0}^{n-1}\frac{n^k}{k!}<\frac{n^n}{2n!}$

Intenté ampliar $e^n$ en $x=0$ entonces:

$\displaystyle e^n=\sum_{k=0}^{n}\frac{n^k}{k!}+\frac1{n!}\int_0^ne^t(n-t)^ndt$

pero no tengo ni idea de lo siguiente...

Y otra forma de pensar: ambos lados divididos $e^n$ el LHS se convirtió en $\displaystyle \frac{n^n}{3n!e^n}$ ¿podemos utilizar la fórmula de stirling para encontrar algo?

¿Podría alguien ayudarme? Gracias.

Answer 1

Una respuesta reelaborada. La tenemos: $$ e^n = \sum_{k=0}^{n}\frac{n^k}{k!}+\frac{n^{n+1}}{n!}\int_{0}^{1}\left(e^t(1-t)\right)^n\,dt\tag{1}$$ pero también tenemos: $$\forall x\in[0,1],\qquad (1-x^3)e^{-x^2/2} \leq e^{x}(1-x) \leq e^{-x^2/2}\tag{2}$$ por lo tanto: $$ \int_{0}^{1}\left(e^t(1-t)\right)^n\,dt \leq \int_{0}^{+\infty}e^{-nx^2/2}\,dx = \sqrt{\frac{\pi}{2n}}\tag{3}$$ y para cada $n\geq 11$ : $$\begin{align*} \int_{0}^{1}\left(e^t(1-t)\right)^n\,dt \geq \int_{0}^{1}(1-t^3)^n e^{-nt^2/2}\,dt &\geq \int_{0}^{1}(1-nt^3) e^{-nt^2/2}\,dt\\&\geq \int_{0}^{1}e^{-nt^2/2}\,dt-\frac{2}{n}\\&\geq \sqrt{\frac{\pi}{2n}}-\frac{4}{n}.\end{align*}\tag{4}$$ Podemos pasar por estas líneas, mejorando un poco $(3)$ y $(4)$ o utilizar algún argumento probabilístico, ya que esencialmente estamos estimando la probabilidad de que un Distribución de Poisson variable aleatoria supera su valor medio.

Answer 2

Sólo obtuve la desigualdad asintótica. La exploración numérica nos dice que la cantidad en cuestión - debidamente reescalada se aproxima monotónicamente al límite izquierdo en la desigualdad.

Asintótica. Después de expandir $e^n=\sum_{k=0}^{n}\frac{n^k}{k!}+\frac1{n!}\int_0^ne^t(n-t)^ndt$ , haciendo una sustitución $t=nx$ en la integral y reordenando los términos, la desigualdad original se convierte en

$$-\frac{2}{3}<\big(\int_{0}^{1}(e^t(1-t))^ndt -{\frac{K(n)}{2n}}\big)n < -\frac{1}{2}\tag{1}$$

donde $K(n)=\displaystyle\frac{n!e^n}{n^n}=\sqrt{2\pi n}(1+\frac 1 {12n}+O(\frac 1 {n^2})\big)\tag{2}$

Utilice el método de Laplace para evaluar $\displaystyle I(n)=\int_{0}^{1}\big(e^t(1-t))^ndt=\int_0^1e^{nh(t)}dt$ donde $$h(t)=t+\log(1-t)$$ $h$ alcanza su máximo en $t=0$ y toma valores $h(0)=0, h'(0)=0,h^{(i)}(0)=-(i-1)!=h_i$ para $i\geq 2$ . Ampliar $h(x)=h_0+\sum_{i\geq 2}h_ix^i/i!$ para conseguir

Aplicando el método de Laplace obtenemos $$I(n)=e^{nh_0}\Big(\frac 1 2\frac {\sqrt{2\pi \sigma}} {n^{1/2}}+\frac {h_3\sigma^2}{3n}+\frac{\sqrt{2\pi \sigma}}{n^{3/2}}\big(\frac{h_4\sigma^2}{16}+\frac{5h_3^2\sigma^3}{48}\big)+\big({h_3h_4\sigma^4\over 3}+{8h_5\sigma^3 \over 5}\big)\frac {1} {n^2}+O(\frac 1 {n^{5/2}})\Big)=\frac{\sqrt{2\pi}}{2n^{1/2}}-\frac 2 {3n}+\frac {\sqrt{2\pi}} {24n^{3/2}}+{12\over 5n^2}+O(\frac 1 {n^3})\tag{3}$$

donde $\sigma=|1/h_2|$ . Obsérvese que en nuestro caso el máximo se alcanza en el límite, por lo que comparado con el caso en que el máximo se alcanza en el centro obtenemos un factor de $1/2$ en de los poderes pares de $x$ en Taylor la expansión antes de la integración y los poderes impar de $x$ no se anulan.

Enchufe $(3)$ en (1) utilizando (2) para obtener $$-\frac 2 3<-\frac 2 3+{12\over 5n}+O(\frac 1 {n^2})<-\frac 1 2$$ que se mantiene.

Para los pequeños $n$ Los valores de $G(n)=\big(I(n)-\frac{K(n)}{2n}\big)n$ son $G(1)=e/2-2\approx -0.64, G(2)=1/(e^2-10)\approx -0.65274, G(3)=1/9(e^3-26)\approx -0.65716$

por lo que parece que el G(n) es monotónicamente decreciente a $-2/3$ que sabemos que ocurre asintóticamente y ya está muy cerca.

¿Puede demostrar la desigualdad para todos $n$ ?