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Question

$$\int\frac1x\sqrt\frac{1-x}{1+x}\ dx$ $ ¿Cómo integrar? He intentado la sustitución$x=\sin\theta$, pero no funcionó.

Answer 1

Me gustaría empezar por el uso de la sustitución de $u=\frac{1-x}{1+x}$. Este es un práctico sustitución, ya que es su propia inversa:

$$u=\frac{1-x}{1+x}\implies x=\frac{1-u}{1+u},~\mathrm{d}x=\frac{-2}{(1+u)^2}\,\mathrm{d}u.$$

A continuación,

$$\begin{align} \int\frac{1}{x}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\,\mathrm{d}x &=\int\left(\frac{1+u}{1-u}\right)\sqrt{u}\frac{(-2)}{(1+u)^2}\,\mathrm{d}u\\ &=-2\int\frac{\sqrt{u}}{(1-u)(1+u)}\,\mathrm{d}u\\ &=-2\int\frac{\sqrt{u}}{1-u^2}\,\mathrm{d}u.\\ \end{align}$$

Otro de sustitución como $u=t^2$ transformaría en una integral de una función racional:

$$\begin{align} \int\frac{1}{x}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\,\mathrm{d}x &=-2\int\frac{\sqrt{u}}{1-u^2}\,\mathrm{d}u\\ &=-2\int\frac{t}{1-t^4}\left(2t\,\mathrm{d}t\right)\\ &=-4\int\frac{t^2}{1-t^4}\,\mathrm{d}t.\\ \end{align}$$

A partir de ahí, parcial fracción de descomposición, se romperá la integral hacia abajo en la primaria integrales, y back-sustitución de rendimiento deseado anti-derivada. PFD nos da,

$$-\frac{4t^2}{1-t^4}=\frac{2}{1+t^2}-\frac{1}{1+t}-\frac{1}{1-t},$$

así,

$$\begin{align} \int\frac{1}{x}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\,\mathrm{d}x &=-4\int\frac{t^2}{1-t^4}\,\mathrm{d}t\\ &=2\int\frac{\mathrm{d}t}{1+t^2}-\int\frac{\mathrm{d}t}{1+t}-\int\frac{\mathrm{d}t}{1-t}\\ &=2\tan^{-1}{\left(t\right)}-\ln{\left(1+t\right)}+\ln{\left(1-t\right)}+\color{grey}{constant}\\ &=2\tan^{-1}{\left(t\right)}-2\tanh^{-1}{\left(t\right)}+\color{grey}{constant}\\ &=2\tan^{-1}{\left(\sqrt{u}\right)}-2\tanh^{-1}{\left(\sqrt{u}\right)}+\color{grey}{constant}\\ &=2\tan^{-1}{\left(\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)}-2\tanh^{-1}{\left(\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)}+\color{grey}{constant}.~\blacksquare\\ \end{align}$$

Answer 2

{1} \ sin \ theta} \ cdot \ sqrt \ frac {1- \ sin \ theta} {1 \ sin \ theta} ; D \ theta \ \ \; = \; \; {1 \ sin \ theta} {\ sin \ theta} {\ sin \ theta} \ cdot \ sqrt \ frac {(1- \ sin \ theta) Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org D \ theta \\ = \; \; \ Int \ frac {\ cos \ theta} {\ sin \ theta} \ cdot \ frac {1- \ sin \ theta} {\ cos \ theta} \; D \ theta \; \; Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org \ Int (\ csc \ theta \; - 1) \; D \ theta $$ Luego convertir de nuevo en términos de x

Answer 3

La observación de que $$ f(x)=\frac{1}{x}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}=\frac{1}{x}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}\cdot\frac{1-x}{1-x}}=\frac{1}{x}\frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}} $$ así tenemos $$ I=\int \frac{1}{x}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\mathrm d x=\underbrace{\int \frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}\mathrm d x}_J-\underbrace{\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm d x}_K=J-K $$ Poner a $x=\sin u$ hemos $$ K=\int \mathrm d u=u+C_1 $$ que es $K=\arcsin x+ C_1$; y para $J$ $$ J=\int \frac{1}{\pecado u}\mathrm d u $$ Poner a $t=\tan(\frac{u}{2})$, por lo que el $\sin u=\frac{2t}{1+t^2}$ $\mathrm{d}u=\frac{2}{1+t^2}\mathrm{d}t$ encontramos $$ J=\int \frac{1}{t}\mathrm{d}t=\log t+C_2 $$ La sustitución de la espalda $t=\tan(\frac{u}{2})=\tan\left(\frac{\arcsin(x)}{2}\right)$ tenemos $$ J=\log \left(\tan\left(\frac{\arcsin(x)}{2}\right)\right)+C_2 $$ Finalmente $$ I=\arcsin x+\log \left(\tan\left(\frac{\arcsin(x)}{2}\right)\right)+C $$

Answer 4

voy a tratar de $x = {2t \over 1 + t^2}$
$$dx = 2{ (1+t^2)dt - t \cdot2tdt \(1+t^2)^2} = {2(1-t^2)dt \(1+t^2)^2} \\ 1 - x = {(1-t)^2 \más de 1 + t^2}, 1 + x = {(1+t)^2 \más de 1 + t^2}, \sqrt{{1-x \a más de 1 + x}}= {1 - t \más de 1 + t} $$

poniendo todos estos juntos,

$$\int{1 \over x} \sqrt{{1-x \a más de 1 + x}} dx = \int{1 + t^2 \sobre 2t} {1 - t \más de 1 + t} {2(1-t^2)dt \(1+t^2)^2} \\= \int {(1-t)^2 \sobre t(1+t^2)} \ dt = \int {1 + t^2 - 2t \sobre t(1+t^2)} dt = \int {dt \sobre t} - 2\int{dt \más de 1 + t^2} \\ = \ln(t) - 2 \bronceado^{-1}(t) + C $$

usted puede resolver $$x = {2t \over 1 + t^2}$$ for $x$ by writing $$xt^2 - 2t + x =0 $$ as a quadratic equation for $t$. by quadratic formula we get $$t = {1 \pm \sqrt{1 + x^2} \over x} $$

puso todo en $$ \int{1 \over x} \sqrt{{1-x \over 1 + x}} dx = \ln(t) - 2 \tan^{-1}(t) + C$$

Answer 5

Solución

ps

Ahora

{1} {\ tan \ theta} \ sqrt \ frac {1 - \ tan \ theta} {1} \ tan \ theta} \ dx = \ int \ - \ tan \ theta) ^ 2} {(1 \ tan \ theta) (1 - \ tan \ theta)}} \ sec ^ 2 \ theta $$

Entonces

ps

Ahora puedes encontrar integral de esto.